En mathématiques, le logarithme binaire (log2 n) est le logarithme de base 2. C’est la fonction réciproque de la fonction puissance de deux : . Le logarithme binaire de est la puissance à laquelle le nombre 2 doit être élevé pour obtenir la valeur , soit : .
Ainsi, le logarithme binaire de 1 est 0, le logarithme binaire de 2 est 1, le logarithme binaire de 4 est 2, le logarithme binaire de 8 est 3.
Notation La notation mathématique moderne du logarithme binaire d'un nombre s'écrit C'est le cas dans Encyclopedia of Mathematics et The Princeton Companion to Mathematics.. Cependant, d'autres notions ont été utilisées dans la littérature, selon les domaines et champs d'application.
Certains auteurs écrivent le logarithme binaire comme .., comme dans The Chicago Manual of Style.. Donald Knuth met cette notation au crédit de Edward Reingold, p. 11. La même notation se trouve dans la édition de 1973 du même ouvrage (p. 23) mais sans donner le nom de Reingold. mais elle était utilisée en théorie de l'information et informatique avant les années d'activité de Reingold... Le logarithme binaire est aussi écrit avec une note préliminaire que la base du logarithme est ... Une autre notation souvent utilisée pour cette fonction (notamment dans la littérature scientifique allemande) est .. du latin logarithmus dualis ou , mais la norme ISO 80000-2ISO 80000-2:2009. Organisation internationale de normalisation. Consulté le 18 janvier 2012. indique que devrait être symbolisé par . En fait, en analyse de la complexité des algorithmes, dans un contexte dans lequel il n'y a pas de confusion possible, il est parfois simplement noté Voir par exemple Complexité des algorithmes. Sylvain Perifel. 2014, sous licence Creative Commons, p.xvi.For DIN 1302 see .For ISO 31-11 see .For ISO 80000-2 see ..
Musique En musique, le logarithme binaire intervient dans la formule permettant de déterminer la valeur en cents d’un intervalle. Cette valeur est égale en cents à 1200 fois le logarithme binaire du rapport de fréquence de l'intervalle. Le rapport de fréquence d'un intervalle est le quotient de la fréquence la plus haute sur la fréquence la plus basse de cet intervalle. Un cent vaut exactement un centième de demi-ton.
Informatique En informatique, l'orientation binaire du matériel fait souvent du logarithme binaire le plus facile à calculer et le plus précis, les autres en étant dérivés.
En effet, soit la représentation virgule flottante binaire d'un nombre réel non nul , où est un entier porteur de l'ordre de grandeur, et un significande tel que . Alors, si :
et le calcul de se ramène ainsi au domaine .
Par exemple, , .
où est la partie fractionnaire du logarithme cherché.
Chaque bit de peut se calculer directement bit à bit à l'aide des relations :
Quand on cherche un nouveau bit de (0 < < 2) : on élève au carré si vaut au moins 2, on note 1, on divise par 2 et on poursuit ; sinon, on note 0 et on poursuit. Ainsi
Or , et on a déjà
Remarque La valeur entraîne que le codage binaire d'un entier décimal occupera au moins par chiffre décimal, soit pour un chiffre, pour 2 chiffres et pour 3 chiffres (ou tranche de 3 chiffres).
Références
Voir aussi Cologarithme Logarithme, symbole normalisé Logarithme naturel (base e), symbole normalisé Logarithme décimal (base 10), symbole normalisé Virgule flottante
Binaire