Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien , sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.
Définition
La fonction de Stumpff, est définie par :
La série converge pour tout réel .
Valeurs particulières
On remarque que :
, où sinc désigne le sinus cardinal
Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.
Il suffit d'utiliser pour passer au cas hyperbolique :
Propriétés Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :
On a également :
Pour tout entier positif n, .
Utilité La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est : une ellipse si l'énergie est négative une branche d'hyperbole si l'énergie est positive une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).
Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différentes fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.
Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du développement en série de et .
Références Karl Stumpff, Himmelsmechanik, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1956, 1965, 1974 Richard H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA, 1999 Eduard Stiefel et Gerhard Scheifele, Linear and Regular Celestial Mechanics , Springer-Verlag, 1971
Catégorie:Mécanique céleste Stumpff