En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique est une fonction «simple» approchant en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de est une fonction réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait : Autrement dit, les moyennes arithmétiques ou moyennes de Cesàro de et entre 1 et , ou encore valeurs moyennes de et sont asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction n'est bien entendu pas unique.

Il ne faut pas confondre un équivalent asymptotique de la valeur moyenne avec un ordre moyen.

Par exemple, pour , un équivalent asymptotique de la valeur moyenne, égale à , est , mais la fonction n’est pas un ordre moyen de .

Par contre, pour , un équivalent de la valeur moyenne, égale à , est .

Dans le cas particulier où la limite

existe, on dit que possède la valeur moyenne . Si de plus , la fonction est un ordre moyen de .

Exemples vignette|upright=1.8|"Courbe" de la somme des diviseurs , avec l'ordre moyen en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune. Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de est 2/3 Un ordre moyen de Hardy and Wright, Théorème 319., nombre de diviseurs de , est Un ordre moyen de Hardy and Wright, Théorème 324., somme des diviseurs de , est Un ordre moyen de (cette propriété est essentielle dans la démonstration du théorème de Cesàro)., indicatrice d'Euler de , est Un ordre moyen de Hardy and Wright, Théorème 430., nombre de facteurs premiers distincts de n, est Un ordre moyen de , nombre de facteurs premiers de , est Un ordre moyen de Hardy and Wright, Théorème 339., nombre de façon d'exprimer comme somme de deux carrés, est . Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt a pour ordre moyen 1 Hardy and Wright, Théorème 434., et au fait que la fonction de Möbius a pour valeur moyenne 0 Hardy and Wright, Théorème 335..

Meilleur ordre moyen Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet :

( est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :

on tire la relation asymptotique

tandis que

ce qui suggère que est un meilleur choix d'ordre moyen pour que simplement (c'est un cas particulier de développement asymptotique).

Références

, 6ème édition 2008, chapitres XVIII et XXII.

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