En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un cardinal de Ramsey est un type de grand cardinal défini par Paul Erdős et András Hajnal, et nommé ainsi en référence à la théorie de Ramsey.
Définitions Soit κ un nombre cardinal infini, [κ]<ω l'ensemble des sous-ensembles finis de κ ; on dit que κ est un cardinal de Ramsey (ou simplement que κ est Ramsey) si, pour toute application f de [κ]<ω dans l'ensemble {0, 1}, il existe un sous-ensemble A de κ ayant le même cardinal que κ qui est homogène pour f, c'est-à-dire que pour tout n, f est constante sur les sous-ensembles de A de cardinal n (cette définition est inspirée du théorème de Ramsey infini).
Avec les mêmes notations, on dit que κ est presque Ramsey si, pour toute application f : [κ]<ω → {0, 1} et pour tout λ < κ, il y a un sous-ensemble de κ de type d'ordre λ qui est homogène pour f.
Propriétés de grand cardinal L'existence d'un cardinal de Ramsey permet de démontrer celle de . Plus généralement, si κ est Ramsey, tout ensemble de rang strictement inférieur à κ possède un dièse.
Tout cardinal mesurable est Ramsey, et tout cardinal de Ramsey est un .
Entre les cardinaux de Ramsey et les cardinaux mesurables, les cardinaux ineffablement Ramsey sont définis comme ceux pour lesquels, pour chaque ensemble stationnaire A et pour chaque fonction f: [κ]<ω → {0, 1}, il existe un ensemble stationnaire B ⊂ A qui est homogène pour f.
Note
Références
Catégorie:Nombre cardinal