En analyse, le théorème de représentation de Riesz (certaines versions sont parfois dénommées théorème de Riesz-Markov) est un théorème qui « représente » certains éléments du dual de l'espace des fonctions continues à support compact définies sur un espace topologique localement compact à l'aide de mesures.
Partant d'une mesure de Borel (positive) sur un espace topologique X, on peut l'utiliser pour intégrer toutes les fonctions numériques continues à support compact. L'application ainsi définie sur l'espace vectoriel C(X) composé de toutes ces fonctions est une forme linéaire positive (au sens où elle envoie toute fonction à valeurs positives sur un réel positif)..
Le théorème de représentation de Riesz établit sous certaines hypothèses la réciproque de cette propriété : on se donne une forme linéaire positive sur C(X), et on veut savoir si elle peut être représentée comme intégrale par rapport à une mesure de Borel, et si oui si la mesure est unique.
Il en existe un grand nombre de variantes, et il s'agit plutôt aujourd'hui d'une collection de théorèmes. dont quelques énoncés sont présentés ci-dessous. Les hypothèses utiles à la preuve de l'existence sont bien stabilisées d'une source à l'autre (on requiert locale compacité et séparation de X) ; il existe en revanche plusieurs variantes de technicité variable permettant d'écrire des résultats d'unicité.
Un énoncé assez général
Dans l'énoncé sous le nom de « Théorème de Riesz-Markov ». ci-dessous :
la notation désigne l'espace vectoriel des fonctions continues à support compact définies sur et à valeurs réelles ; dire qu'une forme linéaire définie sur est « positive » signifie que pour toute de à valeurs positives, ; on entend par « mesure de Borel » une mesure borélienne (positive) finie sur les compacts ; on entend par « mesure intérieurement régulière » une mesure borélienne qui vérifie la condition suivante :
pour tout borélien , ;
enfin on entend par « mesure quasi-régulière » une mesure borélienne qui vérifie les deux conditions suivantes (la première est une condition de régularité extérieure, la deuxième une condition de régularité intérieure, mais qui n'est requise que pour les ouverts) :
pour tout borélien , pour tout ouvert , .
Avec toutes ces conventions de vocabulaire, on peut énoncer :
Plusieurs auteurs soulignent que, lorsque ces deux mesures sont distinctes, la première est la plus utile ou . ; ainsi c'est sur ses propriétés qu'est calquée une définition courante de ce qu'on appelle une mesure de Radon.
Utilisations
Il est possible de construire la mesure de Lebesgue à partir d'une théorie élémentaire d'intégration des fonctions continues en s'appuyant sur ce théorème, plutôt que de s'appuyer sur le volume des parallélépipèdes pour commencer la construction.
Notes et références
Catégorie:Théorie de la mesure sur un espace topologique Representation Riesz