vignette|La constante de Catalan vue comme intégrale entre 0 et 1 de la fonction .|300x300px En mathématiques, la constante de Catalan, portant le nom du mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :
où est la fonction bêta de Dirichlet.
Ses décimales sont répertoriées par la .
On ne sait pas si la constante est rationnelle ou irrationnelle.
Autres expressions La constante de Catalan est aussi égale à :
Expressions intégrales , où désigne la fonction arc tangente intégral
où est l'intégrale elliptique complète de première espèce où est l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce
Développements en série Cette constante peut aussi être définie par la fonction de Clausen :
ce qui donne les formules suivantes : (intégrale en log-sinus), , .
Puisque est l'image de 2 par la fonction bêta, il existe un lien avec le polylogarithme :
d'où :
Utilisation
apparaît dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma :
Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, et la constante de Catalan, par un algorithme de génération de formules.
apparaît dans le calcul de l'entropie de la loi sécante hyperbolique.
En topologie, la constante de Catalan est égale au quart du volume d'un octaèdre hyperbolique idéal, soit un quart du volume hyperbolique du complément de l'entrelacs de Whitehead.. Elle vaut aussi 1/8 du volume du complément des anneaux borroméens..
En combinatoire et en mécanique statistique, elle apparait dans le dénombrement des pavages en domino des arbres couvrants, et des cycles hamiltoniens de graphes grilles.
En théorie des nombres, la constante de Catalan apparait dans une formule conjecturée du nombre de nombres premiers de la forme selon la conjecture F de Hardy et Littlewood. Cela reste cependant un problème non résolu (un des problèmes de Landau) pour lequel on ignore s'il y a un nombre infini de nombres premiers de cette forme.
La constante de Catalan apparait aussi dans le calcul de la distribution de la masse de galaxies spirales.
Propriétés
On ignore encore si est irrationnel, encore moins s'il est transcendant. a été désigné comme "assurément la plus basique des constantes dont l'irrationalité et la transcendance (bien que fortement soupçonnée) reste à prouver"
Il existe cependant des résultats partiels. On sait qu'il existe un nombre infini de nombres irrationnels parmi les valeurs , où est la fonction bêta de Dirichlet. En particulier, au moins une des valeurs parmi , , , , et doit être irrationnel, avec valant la constante de Catalan. Ces résultats par Wadim Zudilin et Tanguy Rivoal sont liés à des résultats obtenus par le calcul de valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs impairs .
La constante de Catalan est connue pour être périodique algébrique, liés à des égalités à partir d'intégrales doubles.
Séries convergeant rapidement Les trois formules suivantes convergent rapidement vers et sont donc appropriées pour le calcul numérique :
Les calculs théoriques pour cette deuxième série ont été donnés par Broadhurst D. J. Broadhurst, Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv : math.CA/9803067, 1998..
et
Troisième série découverte par Jesús Guillera, de l'université de Saragosse, en 2008 via la technique de l'.
Décimales connues
Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques Constants and Records of Computation sur le site de X. Gourdon et P. Sebah..
+ Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan Date Décimales Calculé par 2009 R. Shan et A. J. Yee Octobre 2006 Shigeru Kondo 2002 Xavier Gourdon et Pascal Sebah 2001 Xavier Gourdon et Pascal Sebah 4 janvier 1998 Xavier Gourdon 1997 Patrick Demichel 1996 Thomas Papanikolaou 29 septembre 1996 Thomas Papanikolaou 14 août 1996 Greg J. Fee et Simon Plouffe 1996 Greg J. Fee 1990 Greg J. Fee 1913 32 James W. L. Glaisher 1877 20 James W. L. Glaisher
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999
Liens externes
Catalan Catégorie:Eugène Charles Catalan