En théorie des probabilités et en statistique, la loi du (prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du ; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).
Si sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne et écart-type , alors la variable
est de loi du .
Caractérisations Densité de probabilité La densité de probabilité de la loi du est :
où est la fonction gamma.
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi du est :
où est la fonction gamma incomplète (régularisée).
Fonctions génératrices Fonction génératrice des moments La fonction génératrice des moments est donnée par :
où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer. Fonction caractéristique La fonction caractéristique est donnée par :
où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
Propriétés Moments Les moments de la loi du sont donnés par :
où est la fonction gamma. Les premiers moments sont :
où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :
à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :
Entropie L'entropie est donnée par :
où est la fonction polygamma.
Liens avec d'autres lois Si alors , (loi du χ²) , (loi normale) Si alors , (loi demi-normale) pour tout , (loi de Rayleigh) , (loi de Maxwell) , (la norme de n variables de loi normale est de loi du à k degrés de liberté.) la loi du est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.
+Différentes lois du et Lois en fonction de variables de loi normale loi du χ² loi du χ² non centrée loi du χ loi du χ non centrée
Liens externes
chi