Le théorème de Steinhaus.. est un résultat mathématique d'analyse réelle selon lequel si une partie de l'espace euclidien est mesurable et de mesure strictement positive, alors l'ensemble des différences d'éléments de contient une boule de centre 0 et de rayon non nul. Il se généralise aux groupes localement compacts et aux différences de deux parties non nécessairement égales.
Généralisations
Si est un groupe localement compact et une partie de de mesure de Haar (à gauche) strictement positive, alors l'ensembleest un voisinage de l'élément neutre. La conclusion s'étend au produit de deux parties non nécessairement symétriques l'une de l'autre : si et sont deux parties de de mesures de Haar non nulles, alors l'ensembleest d'intérieur non vide. La conclusion s'étend aussi, dans un groupe topologique quelconque, à toute partie non maigre ayant la propriété de Baire, c'est-à-dire égale à un ouvert à un maigre près.Démontré initialement pour ℝ par ..
Démonstrations
La preuve suivante de la première généralisation est due à Karl Stromberg.. Notons la mesure de Haar et supposons que . Par régularité de , il existe un compact inclus dans et un ouvert contenant tels que et , donc tels que . Comme l'ouvert contient le compact , il contient pour un certain voisinage de l'élément neutre. On conclut en montrant que est inclus dans : pour tout , donc est non vide, autrement dit . La preuve suivante de la deuxième généralisation est due à André Weil... Soient et de mesures strictement positives et finies. Le produit de convolution de leurs indicatrices est une fonction continue. D'après le théorème de Fubini, cette fonction est non nulle, ce qui conclut.
Corollaire Dans ZFC (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix mais sans l'hypothèse du continu), toute partie de Lebesgue-mesurable et non négligeable a la puissance du continuUne autre démonstration de ce corollaire consiste à remarquer qu'un tel ensemble contient un compact non dénombrable donc contient un ensemble parfait non vide..
Notes et références
Articles connexes
Steinhaus