En mathématiques, plus spécifiquement en algèbre, le théorème de Frobenius, démontré par Ferdinand Georg Frobenius en 1877 Ferdinand Georg Frobenius, « Über lineare Substitutionen und bilineare Formen », dans J. reine angew. Math., vol. 84, 1878, p. 1-63. Réimpr. dans Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, p. 343-405, caractérise les algèbres associatives à division de dimension finie sur le corps commutatif ℝ des réels. Il n'y en a que troisIl existe cependant d'autres sur-corps de ℝ qui sont de dimension finie (à droite ou à gauche) sur ℝ, mais ce ne sont pas des ℝ-algèbres car ℝ n'y est pas central .Une variante de L. S. Pontryagin, Topological Groups, 1966, p. 159 est : ℝ, ℂ et ℍ sont les trois seuls anneaux topologiques à division connexes et localement compacts. (à isomorphisme près) : le corps ℝ des réels, celui ℂ des complexes et le corps non commutatif ℍ des quaternions.
Le théorème de Frobenius généralisé de Hurwitz établit que si l'on enlève les contraintes d'associativité et de finitude mais qu'on rajoute celle d'être une algèbre de composition, on ne trouve qu'une quatrième ℝ-algèbre à division : celle des octonions.
Démonstration On peut remplacer les hypothèses « à division » et « de dimension finie » de l'énoncé par les hypothèses plus faibles « sans diviseur de zéro » et « algébrique »Ce second allègement d'hypothèses et cette démonstration sont tirés de , qui l'attribue à Richard Palais et signale que cet énoncé et sa preuve s'adaptent en remplaçant ℝ par n'importe quel corps réel clos..
Soient donc une ℝ-algèbre associative sans diviseur de zéro, algébrique sur ℝ mais non réduite à ℝ, un élément non réel de , et = ℝ[].
Alors, est une extension algébrique stricte de ℝ, donc est isomorphe à ℂ. Notons l'une des deux racines carrées de –1 dans . L'automorphisme intérieur associé à est une involution, donc diagonalisable en tant qu'endomorphisme d'espace vectoriel sur ℝ :
où et désignent respectivement les espaces propres associés à 1 et –1 :
Le sous-espace est une extension de , algébrique donc réduite à . Par conséquent, si le sous-espace est nul alors est isomorphe à ℂ.
Si est non nul, soient un élément non nul de et (comme précédemment) l'une des deux racines carrées de –1 dans l'algèbre ℝ[] = ℝ + ℝ. Puisque appartient à la fois à cette algèbre et à , il est réel. On en déduit que est un multiple réel de , donc appartient à . La bijection échange et , si bien que
avec , et est alors isomorphe à ℍ.
Interprétation cohomologique Ce théorème possède l'interprétation moderne suivante. Les ℝ-algèbres associatives à division de dimension finie sont les algèbres centrales à division sur les extensions finies de ℝ. Elles correspondent donc aux éléments des deux groupes de Brauer Br(ℝ) et Br(ℂ). L'unique élément du groupe trivial Br(ℂ) correspond à la ℂ-algèbre ℂ, et les deux éléments du groupe Br(ℝ) correspondent aux deux ℝ-algèbres ℝ et ℍ.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Algèbre de quaternions Théorème de Frobenius généralisé Théorème de Gelfand-Mazur
Bibliographie Ray E. Artz, Scalar Algebras and Quaternions, 2009, Theorem 7.1 « Frobenius Classification », p. 26 Yuri Bahturin, Basic Structures of Modern Algebra, Kluwer Acad., 1993 , p. 30-32 L. E. Dickson, Linear Algebras, CUP, 1914, § 11 « Algebra of real quaternions; its unique place among algebras », p. 10-12
R. S. Palais, « The Classification of Real Division Algebras », dans Amer. Math. Month., vol. 75, 1968, p. 366-368
Frobenius