En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur. De très nombreux objets classiques des mathématiques, comme la notion de produit cartésien, de groupe quotient, ou de compactifié, peuvent être définis comme des solutions de problèmes universels.
Définition fonctorielle d'une propriété universelle
Soit F un foncteur d'une catégorie dans la catégorie des ensembles ; un couple (A, θ) où A est un objet de et est « solution du problème universel posé par F » si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée :
Pour tout objet X de , pour tout élément f de , il existe un unique morphisme g : A → X tel que : . Le foncteur F est le foncteur associé à la propriété universelle.
Lorsqu'il existe une solution (A, θ) au problème universel posé par F, la propriété universelle établit, pour tout objet X, que est une bijection entre l'ensemble Hom(A,X) des morphismes de A vers X, et F(X). est un isomorphisme naturel entre le foncteur représenté par A et le foncteur F. La relation entre l'élément θ de F(A) et cet isomorphisme naturel n'est autre que celle qui est donnée par le lemme de Yoneda.
Unicité La solution d'un problème universel, lorsqu'elle existe, est unique à isomorphisme près (et cet isomorphisme est alors nécessairement unique).
Soit en effet (A, θ) la solution du problème posé par le foncteur F. Si on prend pour (X, f) (A, θ) lui-même, il existe un unique morphisme g : A → A tel que F(g)(θ) = θ. Comme g = idA vérifie cette propriété, l'unicité de la solution prouve que, pour tout morphisme g : A → A, F(g)(θ) = θ implique g = idA.
Soit maintenant une autre solution (B, φ) du problème posé par F. (A, θ) étant solution, en prenant (X, f) = (B, φ), il existe un morphisme g : A → B tel que F(g)(θ) = φ. Mais (B, φ) étant aussi solution, en prenant (X, f) = (A, θ), il existe un morphisme h : B → A tel que F(h)(φ) = θ. On a donc F(hg)(θ) = θ et donc hg = idA. De même, F(gh)(φ) = φ donc gh = idB. Donc g et h sont des isomorphismes ; appliquant le même raisonnement à un autre isomorphisme g’, on aura hg = hg’, donc g = g’.
La propriété d’unicité est une contrainte assez forte sur l’existence d’une solution : le problème universel d’extension d’un corps K à un corps algébriquement clos n’a pas de solution en général, même en se restreignant aux extensions algébriques, parce qu’il existe des automorphismes non triviaux de la clôture algébrique de K (comme la conjugaison des complexes).
Propriété universelle des structures quotients
Ensembles quotients
Soit la catégorie des ensembles. Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence ≡. Soit F le foncteur qui, à un ensemble X de associe , ensemble des applications de E dans X compatibles avec la relation d'équivalence de E. Pour toute application , posons F(h) l'application de F(X) dans F(Y) définie par : .
Une solution au problème universel posé par F consiste en un couple tel que, pour tout ensemble X et toute application f élément de F(X) (autrement dit toute application de E dans X compatible avec la relation d'équivalence de E), il existe une unique application de dans X telle que . On reconnaît la factorisation canonique d'une application f dans l'ensemble quotient . Pour toute classe d'équivalence , est par définition égal à , où x est un représentant de , la valeur de ne dépendant pas du représentant choisi en raison de la compatibilité de f avec la relation d'équivalence sur E.
La même démarche s'applique aux structures quotients telles que les magmas quotients, les groupes quotients, les anneaux quotients, les modules quotients, les espaces vectoriels quotients, etc.
Groupes quotients
On applique la démarche précédente, mais dans la catégorie des groupes. L'ensemble E est alors un groupe G. On souhaite alors que l'ensemble quotient, solution dans la catégorie des ensembles, soit un groupe, et que la projection canonique soit un morphisme de groupes. C'est le cas si et seulement si la relation d'équivalence ≡ est compatible avec la loi du groupe G. Dans ce cas, la classe de l'élément neutre forme un sous-groupe normal H de G et on a x ≡ y si et seulement si xH = yH. Un morphisme f de G dans un groupe X est compatible avec la relation ≡ si et seulement si H est inclus dans le noyau ker(f).
La propriété universelle relative au quotient s'exprimera alors comme suit. Pour tout groupe X et tout morphisme tel que , il existe un unique morphisme de groupes tel que avec la surjection canonique. On a alors le diagramme commutatif :
Modules quotients
On applique la démarche précédente dans la catégorie des modules sur un anneau A. L'ensemble E est alors un module M. La relation d'équivalence est compatible avec les lois du module si et seulement si la classe de l'élément nul de M est un sous-module N de M. Un morphisme f de M dans un module X est compatible avec la relation ≡ si et seulement si N est inclus dans le noyau ker(f).
La propriété universelle relative au quotient s'exprimera alors comme suit. Pour tout module X et tout morphisme tel que , il existe un unique morphisme de modules tel que avec la surjection canonique. On a alors le diagramme commutatif :
Anneaux quotients
On applique la démarche précédente dans la catégorie des anneaux. L'ensemble E est alors un anneau A. La relation d'équivalence est compatible avec les lois de l'anneau si et seulement si la classe de l'élément nul de A est un idéal bilatère I de A. Un morphisme f de A dans un anneau X est compatible avec la relation ≡ si et seulement si I est inclus dans le noyau ker(f).
La propriété universelle relative au quotient s'exprimera alors comme suit. Pour tout anneau X et tout morphisme tel que , il existe un unique morphisme d’anneaux tel que avec la surjection canonique. On a alors le diagramme commutatif :
Topologie quotient
On applique la démarche précédente dans la catégorie des espaces topologiques. L'ensemble E est alors un espace topologique muni d'une relation d'équivalence. Les morphismes dans cette catégorie sont les fonctions continues. On demande qu'ils soient compatibles avec la relation d'équivalence définie sur E.
La propriété universelle relative au quotient s'exprimera alors comme suit. Pour tout espace topologique X et toute application continue compatible avec la relation d'équivalence sur E, il existe une unique application continue telle que avec la surjection canonique. On a alors le diagramme commutatif :
La solution à ce problème consiste à munir l'espace quotient de la topologie quotient.
Propriété universelle de la somme et du produit Somme
Soit une catégorie et une famille d'objets dans cette catégorie. On définit le foncteur F qui, à un objet X de associe , constituée de la famille des morphismes de vers X. Pour tout morphisme entre objets de , F(h) est le morphisme de F(X) vers F(Y) qui, à associe .
Une solution au problème universel posé par F est la donnée d'un couple , où A est un objet de et pour tout i, est un morphisme de vers A, tel que, pour tout objet X de et toute famille de morphismes des vers X, il existe un unique morphisme g de A vers X tel que, pour tout i, . L'objet A, lorsqu'il existe, s'appelle la somme (au sens des catégories) des objets , généralement notée .
On peut définir ainsi la réunion disjointe d'ensembles, le produit libre de groupes, la somme directe de modules, la somme directe d'espaces vectoriels, etc.
Limite inductive
Supposons de plus que I soit un ensemble filtrant et que les soient munis de morphismes , tels que :
. Pour tout X de , on prend maintenant .
La solution au problème universel posé par F s'appelle la limite inductive des .
Somme amalgamée
Soit A, B et C trois objets, et deux morphismes et . Si on fait abstraction de C, on peut définir la somme de A et de B (si elle existe). Une contrainte supplémentaire peut être donnée en exigeant une commutativité avec les morphismes f et g. Pour tout objet X, posons
La solution au problème universel posé par le foncteur F s'appelle la somme amalgamée de A et B le long de C.
Produit
Soit une catégorie et une famille d'objets dans cette catégorie. On définit le foncteur F contravariant qui, à un objet X de associe , constituée de la famille des morphismes de X vers . Pour tout morphisme entre objets de , F(h) est le morphisme de F(X) vers F(Y) qui, à associe . Le foncteur est contravariant dans le sens où la flèche h est dans le sens contraire de la flèche F(h).
Une solution au problème universel posé par F est la donnée d'un couple , où A est un objet de et pour tout i, est un morphisme de A vers , tel que, pour tout objet X de et toute famille de morphismes de X vers les , il existe un unique morphisme g de X vers A (on inverse le sens en raison de la contravariance du foncteur) tel que, pour tout i, . L'objet A, lorsqu'il existe, s'appelle le produit (au sens des catégories) des objets , généralement notée . Cette notion est duale de celle de la somme.
On peut définir ainsi le produit cartésien d'ensembles, le produit direct de groupes, de modules, d'espaces vectoriels, etc.
Limite projective
Supposons de plus que I soit un ensemble filtrant et que les soient munis de morphismes , tels que :
. Pour tout X de , on prend maintenant .
La solution au problème universel posé par F s'appelle la limite projective des . Cette notion est duale de la limite inductive.
Produit fibré
Soit A, B et E trois objets, et deux morphismes et . Si on fait abstraction de B, on peut définir le produit de A par E (s'il existe). Une contrainte supplémentaire peut être donnée en exigeant une commutativité avec les morphismes f et p. Pour tout objet X, posons
La solution au problème universel posé par le foncteur contravariant F s'appelle le produit fibré de A par E au-dessus de B. Cette notion est duale de la notion de somme amalgamée.
Propriété universelle des familles libres Soit I un ensemble donné, et une catégorie dont les objets sont constitués d'ensembles. Soit F le foncteur défini sur la catégorie , qui, à X associe , l'ensemble des familles d'éléments de X indicées par I. Si h est un morphisme de X vers Y, F(h) est l'application de F(X) vers F(Y) qui, à une famille de X associe la famille de Y.
Une solution au problème universel posé par F est la donnée d'un couple tel que, pour tout objet X et toute famille de X, il existe un unique morphisme g de E vers X telle que, pour tout i, . Autrement dit, g est une unique extension à E tout entier à partir des valeurs qu'elle prend sur les .
Dans le cas où est la catégorie des ensembles, on prend des distincts, et pour E l'ensemble des . Module libre
Dans le cas où est la catégorie des modules sur un anneau A donné, la solution au problème universel est le module libre de base les .
Groupe libre
Dans le cas où est la catégorie des groupes, la solution au problème universel est le groupe libre engendré par les .
Algèbre de Boole libre Dans le cas où est la catégorie des algèbres de Boole, la solution au problème universel est l'algèbre de Boole libre engendrée par les . Cette algèbre étant considérée comme un anneau, elle est construite de la façon suivante. On forme d'abord les produits finis en nombre quelconque des (y compris le produit vide pour obtenir l'élément 1), puis on prend les sommes finies en nombre quelconque de ces produits.
Polynômes
Dans le cas où est la catégorie des algèbres commutatives sur un anneau A, la solution au problème universel est le polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans A, d'indéterminées les . Ces dernières sont dans ce cas usuellement notées .
Propriété universelle de l'objet initial et final
Si on prend pour F le foncteur constant, envoyant tout objet X de sur un même singleton {θ}, et toutes les flèches de