En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes : .
Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il dénomme "série hypergéométrique de Wallis". Il l'étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle. ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel :
(formellement, puisque les deux séries divergent).
Échangeant somme et intégrale, on obtient :
La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) :
où est la base des logarithmes népériens, et où est l'exponentielle intégrale.
La valeur de cette intégrale est appelée constante de Gompertz ou constante d'Euler-Gompertz, voir la .
Calcul par une équation différentielle
Considérons le système d'équations différentielles
La solution stable vérifiant pour est donnée par . En introduisant ce résultat dans l'équation en puis en cherchant une solution sous forme de série formelle, on trouve :
La valeur est précisément celle qu'on veut calculer. D'un autre côté, on peut calculer la solution exacte :
Par intégrations par parties successives, on retrouve la série entière comme développement asymptotique de cette expression pour . Euler utilise cette égalité pour affirmer :
ce qui est bien la valeur obtenue par sommation de Borel.
Notes et références
Articles connexes Factorielle alternée Série des entiers (1 + 2 + 3 + 4 + ⋯) Série alternée des entiers (1 − 2 + 3 − 4 + ⋯) Série de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + ⋯) Série divergente
Alternée Factorielles Catégorie:Leonhard Euler