vignette|6 points sur les côtés du triangle et leur conique commune.Un théorème de Carnot de géométrie euclidienne, dû à Lazare Nicolas Marguerite Carnot, donne une condition pour que des points situés sur les côtés d'un triangle soient situés sur une même conique.

Énoncé On se donne dans un triangle six points : sur le côté , sur le côté et sur le côté .

Ces six points sont situés sur une même conique si et seulement si on a la relation suivante et 436 et suivantesM. Chasles, Traité des sections coniques, faisant suite au traité de géométrie supérieure, Paris, Gauthier-Villars, 1865, p. 19, l'énonce pour une conique. :

.

On peut voir ce théorème comme une généralisation au degré 2 du théorème de Ménélaüs portant sur l'alignement de trois points situés sur les côtés d'un triangle. vignette|Ellipse inscrite passant par les pieds de trois céviennes concourantes.

Exemple d'application Les droites joignant les sommets d'un triangle à deux points donnés coupent les côtés opposés en six points qui sont sur une même conique .

On applique le théorème de Ceva aux trois céviennes passant par le premier point, ainsi qu'aux trois céviennes passant par le deuxième, et le produit des deux relations de Ceva donne la relation de Carnot.

En confondant les deux points, on obtient que les pieds de trois céviennes concourantes sont les points de contact d'une conique inscrite.

Généralisation Le théorème précédent se généralise à une courbe algébrique sécante à un polygone fermé plan parle du « théorème de Carnot sur les transversales »., ainsi qu'à l'espacePour , parle de « relation de Carnot »., l'utilise pour un quadrilatère gauche..

Énoncé dans le cas du triangle Théorème de Carnot pour une courbe de degré Pour , ce « théorème de Carnot » est « une des principales émanations » de la « méthode des transversales »..

Étant donné une courbe algébrique quelconque de degré coupant un triangle :

soit (resp. et ) le produit des distances, réelles ou imaginaires, de (resp. et ) aux points d'intersection de la courbe avec le côté (resp. et ),

et soient de même , et les produits semblables associés aux côtés , et . Alors

Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009

Notes et références

Carnot Catégorie:Théorie des transversales Catégorie:Géométrie du triangle