En mathématiques la conjecture de Hanna Neumann est aujourd'hui un théorème de la théorie des groupes, conjecturé par Hanna Neumann en 1957 et démontré en 2012 par Igor Mineyev : nouvelle preuve plus courte, grâce à une suggestion de Warren Dicks – cf Mineyev and the Hanna Neumann Conjecture sur le site Low Dimensional Topology Joel Friedman, , 30 avril 2012, UBC, a annoncé une autre méthode. dans sa version renforcée formulée par Walter Neumann en 1990. Ce théorème concerne le rang (c'est-à-dire le nombre minimal de générateurs) de l'intersection de deux sous-groupes de type fini d'un groupe libre.

Histoire

La conjecture était motivée par un théorème de 1956 dû à Howson, selon lequel l'intersection de deux sous-groupes de type fini H et K d'un groupe libre est un groupe libre de type fini. Plus précisément, on savait déjà que H∩K est libre (théorème de Nielsen-Schreier) et Howson montra que si H et K sont de rangs m, n > 0 alors le rang s de H∩K vérifie : s – 1 ≤ 2mn – m – n = 2(m – 1)(n – 1) + m + n – 2.

La même année et la suivante, Hanna Neumann améliora cette majoration en montrant que s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1), conjecturant que ce facteur 2 était même superflu, c'est-à-dire que s – 1 ≤ (m – 1)(n – 1). Cet énoncé devint connu sous le nom de « conjecture de Hanna Neumann ».

Si H ou K est d'indice fini, on a égalité, preprint de W. Imrich.

Conjecture de Hanna Neumann renforcée

Si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, a un élément de G et b un élément de sa double classe HaK, c'est-à-dire un élément de la forme hak avec h∈H et k∈K, alors le sous-groupe H ∩ bKb est conjugué par h de H ∩ aKa, donc de même rang. On sait par ailleurs que si G est libre et si H et K sont de rangs m et n finis et > 0, il n'existe qu'un nombre fini de classes doubles pour lesquelles ce rang est non nul. Si H∩K est de rang s > 0, on a alors :

ce qui rend naturelle la « conjecture de Hanna Neumann renforcée » formulée par Walter Neumann (l'un de ses trois fils) :

Résultats partiels et autres généralisations

En 1971, Burns affina la majoration de Hanna Neumann de 1957 enLa preuve de Burns est simplifiée dans et , et sa majoration est améliorée en s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1) – min(j(m – 1), i(n – 1)), où j et i désignent les indices respectifs de H et K, dans .s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1) – min(m – 1, n – 1). En 1990, Walter Neumann précisa le résultat de Burns en démontrant que (avec les notations ci-dessus) et formula la conjecture renforcée (voir ci-dessus). En 1992, Gábor Tardos établit cette conjecture renforcée dans le cas où m ou n est égal à 2. Comme dans la plupart des approches de cette conjectureVoir par exemple , et sa bibliographie., il utilisait une technique de théorie géométrique des groupes : celle des graphes de sous-groupes de Stallings. En 1994, Warren Dicks reformula la conjecture renforcée en termes de théorie des graphes. En 2000, Goulnara Arzhantseva démontra que si H est un sous-groupe de type fini et d'indice infini d'un groupe libre G alors, pour une classe « générique » – en un certain sens statistique – de sous-groupes K de G de type fini, tous les H ∩ aKa sont triviaux. Ainsi, pour tout sous-groupe de type fini H de G, la conjecture renforcée est vérifiée pour des K génériques. En 2001, Dicks et utilisèrent l'équivalence établie par Dicks en 1994 pour prouver la conjecture renforcée dans le cas où m ou n est inférieur ou égal à 3. En 2002, Bilal Khan et, indépendamment, John Meakin et Pascal Weil prouvèrent la conjecture renforcée dans le cas où l'un des deux sous-groupes H ou K du groupe libre G est « positivement engendré », c'est-à-dire engendré par un ensemble fini d'éléments qui sont produits seulement de générateurs de G, et pas de leurs inverses. Sergei Ivanov, puis Dicks et Ivanov. , ont obtenu des analogues et des généralisations des résultats de Hanna Neumann pour des intersections de deux sous-groupes d'un produit libre de plusieurs groupes. En 2005 – donc avant que la conjecture de Hanna Neumann renforcée soit démontrée – Daniel Wise a prouvé qu'elle implique une autre conjecture, en théorie des groupes qui résistait depuis longtemps, selon laquelle tout groupe à un relateur 〈 a, a, … | W 〉 avec n ≥ 2 est « cohérent », c'est-à-dire que tous ses sous-groupes de type fini sont de présentation finie.

Références

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