La théorie du chaos est une théorie scientifique rattachée aux mathématiques et à la physique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques déterministes et sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon.
Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme. Bien que ce soient des systèmes déterministes, dont le comportement futur est déterminé par les conditions initiales, sans aucune intervention du hasard, ils sont imprévisibles (au moins dans le détail) car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infinieQuand on procède au calcul numérique des solutions d'un système différentiel on peut imposer des conditions initiales exactes (par exemple via des nombres entiers), mais s'il s'agit d'un système dynamique sensible aux conditions initiales le résultat du calcul reste chaotique en raison des erreurs d'arrondi, qui ont le même effet que de petites variations des conditions initiales : le résultat des calculs sera reproductible sur un même ordinateur, mais pourrait être complètement différent d'un ordinateur à l'autre..
Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos.
Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré. La théorie du chaos a des applications en météorologie, climatologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie.
Introduction Étymologie La notion de chaos renvoie à un concept qui remonte à l'Antiquité, dans la perspective d'une explication du monde reposant sur le principe de l'harmonie et du cosmos. C'est un concept de philosophie avant d'être un concept des mathématiques.
Définition heuristique d'un système chaotique Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes : le phénomène de sensibilité aux conditions initiales ; une forte récurrence.
La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné, qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique, qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en physique théorique. La dynamique quasi périodique d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du Système solaire autour du Soleil ; aussi Voltaire, qui incita Émilie du Châtelet à entreprendre la traduction des Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »…
Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ? Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déjà trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l'échelle microscopique (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du qu'une dynamique d'une grande complexité pouvait résulter d'un système simple possédant un très petit nombre de degrés de libertéPour un système dynamique différentiable inversible décrit par une équation différentielle (resp. l'itération d'une application suivant des temps discrets), trois (resp. deux) degrés de liberté suffisent. Pour un système dynamique décrit par l'itération d'une application différentiable non inversible suivant des temps discrets, un degré de liberté est suffisant. L'exemple paradigmatique est le doublement d'angle sur le cercle.
Pour des dimensions inférieures, la classification de Poincaré des homéomorphismes du cercle et le théorème de Poincaré-Bendixson sur les difféomorphismes de surface interdisent la présence d'une dynamique chaotique., pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.
La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnéeBien sûr, un système complexe peut aussi posséder une dynamique d'une grande complexité : mentionnons par exemple les phénomènes météorologiques ou l'économie..
Chronologie de la théorie du chaos
Le déterminisme de Laplace La question de départ était de prédire le mouvement de la Lune, question posée par les astronomes. Pierre-Simon de Laplace a émis l'hypothèse de la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Mais le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème.
La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré Le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du par Henri Poincaré, dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste (notamment dans le volume 3 des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste), puis par Jacques Hadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe Développements historiques situé plus loin.
Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930 Mary Lucy Cartwright, mathématicienne britannique est également une pionnière de l’étude du chaos.
Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970
Ce n’est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture épistémologique forte. Le terme suggestif de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. YorkeCf. .. Otto E. Rössler, connu pour avoir découvert l'un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd'hui attracteur de Rössler.), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s'explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l'informatique à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique idoine.
À titre d'illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d'images produites par la théorie du chaos ; il s'agit ici d'un objet géométrique découvert par Lorenz en 1963, et initialement baptisé « attracteur étrange » à la suite de l'introduction de ce concept par David Ruelle et Floris Takens.. (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz et la météorologie.)
La théorie du chaos est une théorie scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l'espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l'espace plutôt que l'une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c'est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à « trouver de l'ordre caché sous un désordre apparent »Cf. . L'attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d'une évolution d'un système dans l'espace des phases. Au déterminisme laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement longs a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière probabilisteCf. . et alors caractérisé par l'existence d'invariants prenant la forme de mesures de probabilités, de dimension fractale… ou par une description topologique des attracteurs. Toutes les sciences, y compris sociales, sont concernéesArticle de vulgarisation, en anglais, sur le sujet de la théorie du chaos en sciences sociales : "Social Sciences : Chaos Theory; An Overview, by Ashley Crossman, 2017 Lire en ligneAlain Degenne. Les attracteurs. 2014. Lire en ligne par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l'organisation du vivant dans la natureA. Hastings, C. L. Hom, S. Ellner, P. Truchin & H. C. J. Godfray, « Chaos in ecology : is Mother Nature a strange attractor ? », Annual Reviews of Ecology and Systematics, vol. 24, 1–33, 1993..
Le déterminisme, de Laplace à Poincaré
La stabilité du Système solaire
Le point de départ de la théorie du chaos est le « problème à trois corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme le système : { Soleil - Terre - Lune }, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le Système solaire est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du Système solaire vers l'infini.
Le problème à trois corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne : en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont Laplace, qui crut avoir prouvé la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Mais en réalité, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement, et un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l'évolution des idées qui distinguent la pensée de Poincaré de celle de Laplace.
Notion de système dynamique différentiel conservatif
Pour un système possédant n degrés de liberté, l'espace des phases du système possède 2n dimensions, de telle sorte que l'état complet du système à l'instant t est en général un vecteur à 2n composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du typeUne équation différentielle d'ordre n peut toujours se ramener à un système de n équations différentielles couplées d'ordre un. :
où la fonction f définit le système dynamique étudié (c'est en général également un vecteur à n dimensions, c’est-à-dire un ensemble de n fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale un et un seul état final . Il faut pour cela qu'il existe une application bijective de l'espace des phases sur lui-même telle que :
Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur , c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre . Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique.
Laplace, ou le déterminisme triomphant
Fort des succès obtenus en mécanique céleste, Laplace écrit en 1814 dans l’introduction de son Essai philosophique sur les probabilités, consulté le 27 juin 2013. :
Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant.