En mathématiques, la notion d'anneau euclidien non commutatif généralise la notion classique d'anneau euclidien au cas non commutatif. Les polynômes tordus (voir infra) en fournissent un exemple. En particulier, l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans un corps commutatif est un anneau euclidien non commutatif.
Définitions et propriétés Un anneau sans diviseur de zéro est appelé un anneau euclidien à gauche s'il existe une fonction , appelée fonction euclidienne à gauche ou stathme euclidien à gauche, §VII.1, exercice 7 et vérifiant les conditions suivantes : (E1) . (E2) Pour tous Par convention, . (E3) Pour tout et pour tout , il existe tels que , , ce qu'on appelle algorithme de la division à gauche.
Ce qui précède est encore valide si l'on change partout gauche par droite, en inter-changeant et dans (E2), et en remplaçant l'algorithme de la division à gauche par l'algorithme de la division à droite: , .
Les éléments et de l'algorithme de la division à gauche (resp. à droite) sont appelés un quotient et un reste de la division à droite (resp. à gauche) de par .
Un anneau euclidien est un anneau euclidien à gauche qui est un anneau euclidien à droite.
Si l'on remplace (E2) par la condition plus forte (E2') Pour tous et , on montre que le reste est unique (de même que le quotient ) et l'anneau euclidien à gauche est donc dit avec reste unique.
La propriété suivante est fondamentale: un anneau euclidien à gauche est principal à gauche (la démonstration étant identique à celle faite dans le cas commutatif: voir l'article anneau euclidien).
Exemples L'anneau des entiers relatifs est un anneau euclidien commutatif avec pour stathme euclidien la fonction définie par si et . Cet anneau euclidien n'est pas avec reste unique.
Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme . où les sont des fractions rationnelles en à coefficients dans le corps ou . Cet anneau est un anneau euclidien.
Plus généralement, soit un corps, un automorphisme de et une -dérivation, et considérons l'anneau des polynômes tordus d'indéterminée à coefficients dans (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau est euclidien avec reste unique, avec le degré pour stathme euclidien à gauche et à droite.
Notes et références Notes
Références
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