En combinatoire additive et en théorie additive des nombres, un sous-ensemble d'un groupe abélien noté additivement est un ensemble sans somme si la somme d'ensembles est disjointe de . De manière équivalente, est sans somme si l'équation n'a pas de solution avec .
Par exemple, l'ensemble des entiers impairs est un sous-ensemble sans somme de l'ensemble des entiers ; de même, si est un entier naturel pair, l'ensemble est un sous-ensemble sans somme de .
Concernant ces ensembles, on peut se poser la question suivante :
Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme de , pour un entier ?
est trivialement puisque l'ensemble vide et les singletons sont sans somme.
Les premières valeurs en commençant à sont : 2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954,..., . Par exemple, , car hormis le vide et les singletons, seuls et sont sans somme.
Ben J. Green a montré que la réponse asymptotique est , comme suggéré dans la conjecture de Cameron-Erdős.
Alexander Sapozhenko a montré plus précisément que le nombre est si est pair, et si est impair, où et sont des constantes.
D'autres questions ont été posées et examinées : Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme dans un groupe abélien ? Quelle est la taille maximale d'un sous-ensemble sans somme dans un groupe abélien ?
Notes et références
Voir aussi
Suite sans somme
Lien externe
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