En algèbre, la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules. On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules. La dimension de Krull (respectivement homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens (resp. semi-simples, ), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, régulier au sens de von Neumann). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie, 7.1.9 ; , (5.94), (5.95).La dimension de Goldie, également appelée dimension uniforme, qui a une signification tout à fait différente, n'est pas traitée ici. Voir par exemple , §2.2..

Résolutions

Soit un R-module. La suite exacteest appelée une résolution gauche de . Si pour tout , le module est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si et pour tout , cette résolution est dite de longueur . S'il n'existe pas de tel entier , cette résolution est dite de longueur infinie. La suite exacteest appelée une résolution droite de . Si pour tout , le module est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective. Tout R-module admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module admet également des résolutions injectives, Prop. 6.2 et 6.4..

Dimensions d'un module

Dans ce qui suit, et l'on prend pour convention que pour tout , , et . Soit un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée (resp. Le de peut être la première lettre du mot anglais flat ou du mot français faible.) est la borne inférieure dans des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de . On a . Pour que soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que (resp. ).

Dimensions d'un anneau

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

Dimension homologique

Soit la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales, 7.1.8. :

Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit . Cette quantité est la borne supérieure dans des quantités pour lesquelles il existe deux R-modules à gauche et tels que (voir l'article Foncteur dérivé)C'est ce que (§8.3), qui ne considère que des modules à gauche, appelle la dimension homologique de l'anneau R, et note . Il ne définit pas la dimension homologique faible.. On définit de même la dimension globale à droite de R, notée dans ce qui suit . Lorsque = (c'est évidemment le cas lorsque R est commutatif), leur valeur commune est appelée la dimension globale de R et est notée , 7.1.11. Notation anglaise: pour la dimension globale à gauche, pour la dimension globale à droite, pour la dimension globale.. La notion de dimension globale s'étend au cas d'une catégorie abélienne quelconque de sorte que, si (resp. ), cette dimension coïncide avec la quantité (resp. ) définie plus haut. Il n'est pas nécessaire de supposer que ait « suffisamment de projectifs » ou « suffisamment d'injectifs »..

Dimension faible

Les quantités suivantes sont égales, §7.1. :

Leur valeur commune est appelée la dimension globale faible de R, notée dans ce qui suitNotation anglaise : .. Cette quantité est la borne supérieure dans des quantités pour lesquelles il existe un R-module à droite et un module à gauche tels que (voir l'article Foncteur dérivé).

Propriétés

On a . On a avec égalité si R est noethérien à gauche. Si R est noethérien, on a . Soit un anneau commutatif ; alors (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), , §8, Thm. 1.. Soit R un anneau commutatif, un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et le localisé . On a et . Résultat semblable dans le cas non commutatif en introduisant la notion densemble dénominateur.. Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si Un anneau commutatif intègre R est un si, et seulement si , Example 8.20.. Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer., et vérifie donc . En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite .

Anneaux réguliers

Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulierÀ ne pas confondre avec un anneau de von Neumann régulier. s'il est régulier à gauche et à droite., exige, avec d'autres auteurs, que, de plus, R soit noethérien à gauche.. Si , R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie, (5.94) ; , Appendix.. Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de , 7.7.3, 7.7.5. Des extensions au cas non commutatif des propriétés énoncées ici sont données dans ces références.. Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie, donc R est régulier à gaucheCeci n'est bien sûr exact que si l'on n'exige pas la propriété noethérienne dans la définition de la régularité..

Notes et références Notes

Références

Homologique Catégorie:Théorie des anneaux