En algèbre générale, et notamment en théorie des demi-groupes, le groupe de Schützenberger est un groupe associé à une -classe, au sens des relations de Green d'un demi-groupe. Les groupes de Schützenberger de deux -classes d'une même -classe sont isomorphes. Si une -classe est un groupe, le groupe de Schützenberger de cette -classe est isomorphe à cette classe.

Il y a en fait deux groupes de Schützenberger associés à une -classe donnée; ils sont anti-isomorphes l'un de l'autre.

Les groupes de Schützenberger ont été décrits par Marcel-Paul Schützenberger en 1957. Ils ont été nommés ainsi dans le livre de Alfred H. Clifford et Gordon PrestonVoir aussi .

Le groupe de Schützenberger

Soit un demi-groupe. On définit comme étant égal à si est un monoïde, sinon égal à , où est un élément neutre ajouté, donc vérifiant pour tout de .

La relation de Green est définie comme suit. Soient et deux éléments de . Alors si et seulement s'il existe dans tels que et . La -classe d'un élément est notée . C'est l'ensemble des éléments de tels que .

Soit une -classe de . Soit l’ensemble des éléments de tels que est un sous-ensemble de . Chaque de définit une transformation, notée de dans lui-même qui envoie un élément sur : . L'ensemble de ces transformations est en fait un groupe pour la composition des fonctions, considérées comme opérant à droite (). C'est le groupe de Schützenberger associé à la -classe . L'autre groupe de Schützenberger est le groupe des multiplications à droite .

Exemples

Toute -classe a la même cardinalité que son groupe de Schützenberger . Si est un sous-groupe maximal d'un monoïde , alors est une -classe et est canoniquement isomorphe à son groupe de Schützenberger.

Applications

Un certain nombre de propriétés algébriques des monoïdes se reflètent dans leur groupe de Schützenberger. Ainsi, un monoïde qui a un nombre fini d'idéaux à gauche et à droite est finiment présenté, ou simplement finiment engendré si et seulement si tous ses groupes de Schützenberger le sont.

Notes et références

Catégorie:Groupe remarquable Catégorie:Demi-groupe