En mathématiques, une suite régularisante est une suite de fonctions régulières utilisées afin de donner une approximation lisse de fonctions généralisées, le plus souvent par convolution afin de lisser les discontinuités.
Définition Une suite de fonctions tests ( C à support compact) sur est dite régularisante si..., pour tout indice :
le support de est inclus dans une boule avec Certains auteurs imposent , comme ou (en dimension 1) . : les fonctions sont donc de plus en plus resserrées autour de l'origine, appelle une suite de fonctions continues vérifiant ces trois conditions et remarque qu'alors : ..
Fonction régularisante
La façon la plus simple de construire une suite régularisanteCertains auteurs réservent le nom de suites régularisantes à celles obtenues de cette façon, comme ou . est de partir d'une fonction régularisante, une fonction , C à support compact, positive et d'intégrale 1 (sur ℝ), et de poser .
Une telle fonction existe.. : il suffit par exemple de considérer la fonction sur ℝ définie par
(où désigne la norme euclidienne) puis, en notant l'intégrale de , de poser .
Cette fonction régularisante est même symétrique, . que ne dépend que de .
Propriétés Les suites régularisantes sont principalement utilisées en théorie des distributions, afin de passer d'un problème sur des fonctions généralisées à une restriction aux fonctions régulières, plus simples à manier.
La convolée d'une distribution par une fonction test est une fonction de classe C, dont le support est inclus dans la somme de Minkowski du support de et du support de la distribution .
Soit une distribution et une suite régularisante. Alors la suite des distributions régulières associées aux fonctions converge vers dans , autrement dit : (dans ). Plus généralementPour une généralisation à tout groupe localement compact (au lieu de ℝ), voir . :
Applications Les suites régularisantes sont utilisées pour démontrer la densité des fonctions continues dans des espaces fonctionnels plus généraux, comme les espaces ou de Sobolev..
Elles sont également utilisées pour montrer l'équivalence des formulations faibles et fortes d'équations différentielles au sens des distributions.
Notes et références
Articles connexes Approximation de l'unité Partition de l'unité
Catégorie:Analyse fonctionnelle Regularisante