En théorie de la mesure, la mesure image est une mesure définie sur un espace mesurable et transférée sur un autre espace mesurable via une fonction mesurable.
Définition On se donne deux espaces mesurables et , une application mesurable et une mesure . La mesure image de par est une mesure sur notée et définie par :
</center>
Cette définition s'applique également aux mesures complexes signées.
Formule de changement de variables La formule de changement de variables est l'une des principales propriétés, sections 3.6-3.7 : Une fonction g sur X est intégrable par rapport à la mesure image si et seulement si la fonction composée est intégrable par rapport à la mesure . Dans ce cas les deux intégrales coïncident :
Exemples et applications La mesure de Lebesgue naturelle sur le cercle unité , vu ici comme sous ensemble du plan complexe , n'est pas définie comme la mesure image de la mesure de Lebesgue sur l'ensemble des réels , mais de sa restriction, que nous noterons également , à l'intervalle . Soit la bijection naturelle définie par . La mesure de Lebesgue sur est alors la mesure image . Cette mesure peut également être appelée mesure de longueur d'arc ou mesure d'angle, puisque la -mesure de l'arc est précisément la longueur de l'arc. L'exemple précédent s'étend pour définir la mesure de Lebesgue sur le tore -dimensionnel . La mesure de Lebesgue sur est, à renormalisation près, la mesure de Haar sur le groupe de Lie compact connexe . Une variable aléatoire est une application mesurable entre un espace probabilisé et . La mesure de probabilité d'une variable aléatoire est la mesure image de ℙ par la variable aléatoire X :
Considérons la fonction mesurable et la composition de par elle-même fois :
Cette fonction itérative forme un système dynamique. Il est souvent utile de trouver une mesure sur que l'application laisse inchangée, ou , i.e. qui vérifie : .
Références