En mathématiques, les nombres de Lah, établis par , permettent d’exprimer les factorielles croissantes en fonction des factorielles décroissantes et réciproquement.

Définitions

Les nombres de Lah (signés) L(n, k) () sont définis par :

avec la factorielle croissante et la factorielle décroissante, d’où : .

On montre (voir section #Expression directe ci-dessous) que L(n, k) a pour signe (-1). De même que pour les nombres de Stirling de première espèce, la notation de Karamata–Knuth désigne la version non signée des nombres de Lah () : , d’où : .

Propriétés

Relation inverse

.

Formule de récurrence

avec (symbole de Kronecker).

Expression directe

Pour , .

Donc L(n, k) a pour signe (-1), d’où l’expression de ( ) : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1001 10 1 20 2 1 30 6 6 1 40 24 36 12 1 50 120 240 120 20 1 60 720 1800 1200 300 30 1 70 5040 15120 12600 4200 630 42 1 80 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1 90 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1 10036288001632960021772800127008003810240635040604803240901

Involution

avec δ le symbole de Kronecker. La matrice des L(n, k) est donc involutive.

Autres propriétés

Les nombres de Lah non signés peuvent s’exprimer en fonction des nombres de Stirling (de première espèce non signés) et (de seconde espèce) : .

Ils peuvent également s’exprimer en fonction des polynômes de Bell : .

Dérivée de exp(1/x) Les nombres de Lah permettent d'exprimer la dérivée n-ème de :

Application pratique récente Ces dernières années, les nombres de Lah ont été utilisés en stéganographie pour cacher des données dans des images. Par rapport aux alternatives telles que la DCT, la DFT et la DWT, elle présente une complexité moindre — — de calcul de leurs coefficients entiers. Les transformées de Lah et de Laguerre apparaissent naturellement dans la description perturbative de la dispersion chromatique. En optique de Lah-Laguerre, une telle approche accélère considérablement les problèmes d'optimisation.

Notes et références

Voir aussi Bibliographie . . .

Articles connexes Symbole de Pochhammer Nombre de Stirling Polynôme de Bell

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