L'aéroélasticité d'une voile décrit le couplage entre la voile et l'air, qui crée vibration, instabilité, et déforme le profil de la voile, dont le plus connu est le faseillement. L'origine de ces phénomènes diminuant les performances d'une voile provient du fait qu'une voile est rarement rigide, une voile est généralement souple, mais aussi élastique. L’élasticité du matériau de la voile couplé au vent provoque ces phénomènes. L'aéroélasticité d'une voile n'est pas encore maitrisé et fait l'objet de recherche scientifique.
Modélisation
Les conditions aux limites de l'approche classique (voir Cas de plusieurs voiles : résolution multidimensionnelle du problème), ou les éléments sont rigides et à vitesse constante, ne reflètent pas la réalité. Malgré tout avec ses simplifications la résolution est déjà quasi hors de portée de nos possibilités actuelles.
L’élasticité des voiles, du gréement, le voilier qui bute sur les vagues, etc., sont des paramètres qui peuvent amener à des optimisations donc des performances de voile non négligeable en compétition. La prise en compte de ses éléments amène à considérer que les mouvements des parties solides (voile, gréement, etc) influe sur le comportement du fluide (l'air). Ce couplage est nommé aéroélasticité. Ce domaine est en pleine phase de recherche.
Le cas de notre modélisation plus complète est représenté par les conditions suivantes : le vent la vitesse aux bornes d'entrée du domaine en amont de la voile est constante et non nulle présence d'une ou plusieurs voiles soit la condition la vitesse est nulle sur la voile avec . Si la voile est fixe . en aval, très loin de la voile, la voile n'a plus d'effet ou d'influence sur le fluide contrainte nulle aux sorties des bords du domaine en aval de la voile
Suivant la finesse des simulations il est possible de rajouter par ordre croissant de difficulté : le mat, le reste du gréement : hauban, flèche de mat... le reste du bateau : œuvre vive et superstructure la mer.
La condition est : la vitesse relative du vent sur ses éléments est nulle . Il ne faut pas oublier que la mer est fixe et que le bateau bouge avec son gréement. Les vitesses absolues seront donc différentes. La modélisation de la mer est plus ou moins raffinée suivant les possibilités de calcul : par un plan ici l'influence de la mer plate est représentée par un flux d'air non uniformel'influence est représenté par un flux d'air non uniformeici essai dans une soufflerie le sol représentant une mer plate avec une houle modélisée par une sinusoïde, voire plus complexe plus complète la modélisation inclut le sillage du bateau exemple de simulation très poussé. Dans une modélisation avec la mer, l'interaction voilier-mer fait gîter, rouler, tanguer le navire. La voile bouge dans tous les sens compliquant d'autant la simulation. Le praticien choisit souvent parmi ces trois situations : le voilier est statique avec de la gîte (ou pas) ; le voilier est dynamique : il bouge mais ses déplacements possibles sont réduits à gite et tangage ; la simulation est plus complète avec roulis, gite, tangage et le bateau qui monte et descend la vague.
thumb|center|Exemple célèbre de couplage fluide-structure : Tacoma Narrows Bridge
Le problème de l'écoulement de l'air sur la voile lui aussi peut être l'objet de raffinement de calcul. Dans une approche simple la voile est considérée comme indéformable. Ce niveau est déjà en soi hors de portée de nos possibilités de calcul actuelles, les écoulements turbulents sont pas très bien simulés. Mais une voile est souple, ceci est le deuxième niveau de complexité. Et pour finir les matériaux à voile sont élastiques. Très peu élastiques mais suffisamment pour engendrer des phénomènes d'aéroélasticité. Dans ce dernier niveau de complexité nous avons affaire à un couplage entre un fluide (l'air) et une structure (le tissu de la voile), la littérature parle de couplage fluide structure. La structure est du domaine de la résistance des matériaux. Le but est donc de coupler la science de la résistance des matériaux et la science de la mécanique des fluides. Cette section sera principalement fondée sur les références suivante livre en anglais d'introduction sur le sujetarticle scientifiquearticle de la nasathèse voir page 45cours sur le couplage fluide structure de l'école des minesarticle scientifique sur l’aéroélasticité d'une voile d'un colloquearticle scientifique sur l’aéroélasticité d'une voilevoir la vidéo du laboratoire de l'onera pour bien comprendre le phénomènemémoire de dea sur le sujetthèse en anglais :
Problème à une dimension ou voile fixe La voile est considérée comme rigide. Le profil de la voile est donc entièrement connu. La voile peut être composée de plusieurs profils avec des incidences et vrillage différents. À part le spi, les points situés au quart avant de la corde (ou sens de l'allongement) sont proches d'une droite : foc, grand voile et génois.
Le calcul (ou l'essai en soufflerie) peut se limiter à un voilier immobile, c'est-à-dire à gite tangage et lacet constant. Seul suffit pour la simulation un logiciel de mécanique des fluides. La simulation peut être détaillée en incluant les superstructures et autre gréements. Mais grâce au progrès de l’électronique la puissance de calcul a rapidement permis de simuler avec une bonne précision un voilier un peu plus réaliste : le voilier bouge, c'est-à-dire que suivant les efforts de la voilure le voilier va giter... et si on rajoute de la houle, le système devient bien plus réaliste. C'est le premier couplage entre un fluide et une structure, ici considérée comme indéformable.
Il est noté que la puissance de calcul est une limite cruciale pour une simulation. Il est possible de simuler les fluides en incluant la viscosité de l'air, mais quand plusieurs modèles mathématiques interviennent dans la simulation, chaque modèle doit être simplifié pour avoir un temps de calcul raisonnable. Souvent dans un modèle d'aéroélasticité, le sous modèle du fluide est sans viscosité, les interactions fluides structure sont linéarisées, l'inertie est négligée, les déformations élastiques sont linéaires, pas de déformation plastique ... Les types de simulation ne s'excluent pas entre elles, une simulation d'aéroélasticité permet de voir un comportement général du voilier alors qu'une simulation d'un profil avec viscosité permet de voir des comportements de détail de la voile.
Couplage
La simulation est une simulation dynamique, c'est-à-dire que l'on regarde l'évolution des variables (efforts, positions) au cours du temps à . Pour ce faire le temps est découpé en très fine "tranches" . À chaque incrément de temps , les logiciels recalculent tout. Plus le temps est découpé finement meilleure est la simulation, mais plus long est le temps de calcul.
La simulation est composée de trois éléments : le logiciel de calcul du fluide le logiciel de calcul de la structure l'interface qui lie les deux logiciels ou couplage. Le couplage permet le transfert des résultats d'un des logiciels vers l'autre. Le bord de la voile est l'élément en commun des deux logiciels. Les données échangées sont les résultats de calcul obtenus au bord de la voile. La difficulté et le problème sont que les résultats sont interdépendants alors que les calculs de chaque logiciel sont indépendants. Pour l'heure il n'existe pas de logiciel monolithique fusionnant les deux calculs. Le problème est donc que le résultat du logiciel structure donne une nouvelle forme à la voile. Or lui le logiciel fluide pendant ce temps ne peut uniquement calculer les efforts sur la voile qu'avec l'ancienne position. Si les efforts du fluide ont changé, ce changement change la forme de la voile et vice versa. Si on procède par très petits pas de temps, les résultats de calcul à chaque itération varient très peu. La petite erreur commise est alors négligée. L'effort au bord de la voile calculé par le logiciel fluide n'est pas exactement égal aux efforts au bord de la voile calculé par le logiciel structure, le principe fondamental de la statique est violé. Attention l'erreur n'est pas négligeable car elle a tendance à se cumuler, c'est-à-dire que chaque petite erreur correspond à un ajout ou retrait d’énergie dans le système air voile. Les logiciels d'aéroélasticité essayent de limiter le plus possible, c'est le couplage temps. Autre problème, les logiciels sont numériques et donc modélisent l'espace en un maillage. Les logiciels calculent les efforts et les déplacements à des points particuliers du maillage (les sommets). Or rien ne dit que les deux maillages aux bords de la voile sont identiques. Prenons par exemple les efforts : Si les maillages ne correspondent pas, alors le lieu où l’effort calculé par le logiciel fluide aux bords de la voile sur l'un des sommets ne correspond pas à un sommet sur l'autre logiciel. Il faut alors procéder à une moyenne (ou à une autre formule de répartition) pour répartir cet effort sur les sommets proches de l'autre logiciel, c'est le couplage en espace.
Couplage en espace
Soit l'ensemble des points fluide et structure du domaine modélisé.
Soit l'opérateur différentiel pour le fluide et pour la structure, ou des changements de variables sont opérées pour avoir les mêmes variables dans les deux opérateurs. De même est la solution à et est la solution à .
Les conditions initiales sont notées par l'ensemble qui est l'ensemble à t=0 de la vitesse et la position de chaque point de matière de .
À l'interface fluide-structure noté , le principe fondamentale de la statique donne à tout instant de la simulation :
.
Comme la résolution directe du problème est hors de portée de nos connaissances actuelles, les opérateurs différentiels et pris séparément sont trop complexes pour notre mathématique actuelle, on ne sait pas les résoudre directement (analytiquement), mais via des solutions approchantes.
Les solutions approchantes utilisent la méthode des éléments finis. Trouver toutes les fonctions solutions à un problème quelconque est aussi hors de portée de notre mathématique. Par contre les mathématiciens savent trouver les fonctions solutions qui respectent quelques propriétés topologiques, c'est-à-dire trouver les solutions de la reformulation du problème sous forme un peu moins contraignante appelée formulation faible. Ensuite, la formulation faible est réécrite sous forme de formulation variationnelle. Ensuite, grâce au théorème de Lax-Milgram utilisant le résultat remarquable de l'équation d'Euler-Lagrange, il est prouvé que la formulation est résoluble et admet une solution unique. Ce qui est remarquable est que la solution repose sur la minimisation d'une fonctionnelle. Cette fonctionnelle est une re-transformation de notre formulation variationnelle. Donc trouver le minimum unique de cette fonctionnelle, c'est trouver la solution de la formulation variationnelle donc la solution de la formulation faible donc la solution à notre problème .
Il suffit de calculer le minimum de cette fonctionnelle, or les mathématiciens ne savent pas trouver une solution analytique. Par contre, en discrétisant le problème, les mathématiciens savent le résoudre ( trouver des solutions en un nombre fini de points de ). Ces points particuliers sont les nœuds d'un maillage du domaine . Le maillage est choisi par le praticien résolvant ce problème de modélisation. Plus le maillage est fin, plus la solution est réaliste, mais aussi plus le temps de calcul est long. Le processus consiste à trouver donc un minimum en ces nœuds. La méthode est une méthode récursive où à chaque itération on se rapproche de plus en plus du résultat.
Si le problème est stationnaire seule une discrétisation de l'espace via un maillage est nécessaire ; par contre si le problème est dynamique (évolutif), alors le temps sera aussi discrétisé (coupé en petits morceaux).