La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraitesSur la théorie des représentations, voir et , ou encore et .. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel. Parmi les objets algébriques qui se prêtent à une telle approche figurent les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie. La théorie primordiale des représentations est celle des représentations de groupes, où les éléments d'un groupe sont représentés par des matrices inversibles de telle façon que la loi du groupe corresponde au produit matricielPour une histoire de la théorie des représentations des groupes finis, voir . Pour les groupes algébriques et les groupes de Lie, voir ..
La théorie des représentations est un outil puissant, parce qu'elle réduit des problèmes d'algèbre abstraite à des problèmes d'algèbre linéaire, un domaine qui est bien compris. En outre, lorsqu'on autorise l'espace vectoriel, sur lequel un groupe (par exemple) est représenté, à être un espace de dimension infinie, par exemple un espace de Hilbert, on peut appliquer à la théorie des groupes des méthodes d'analyse.. La théorie des représentations est aussi importante en physique, parce qu'elle permet de décrire, par exemple, l'influence du groupe des symétries d'un système sur les solutions des équations qui le décrivent.
La théorie des représentations est omniprésente en mathématiques. De ce fait, ses applications sont variées. : en plus de son impact en algèbre, elle éclaire et généralise largement l'analyse de Fourier via l'analyse harmonique, elle est profondément liée à la géométrie via la théorie des invariants et le programme d'Erlangen, , . et elle a un impact profond en théorie des nombres via les formes automorphes et le programme de Langlands, .. Par ailleurs, elle peut être abordée de diverses manières : les mêmes objets peuvent être étudiés en utilisant des méthodes de géométrie algébrique, de théorie des modules, de théorie analytique des nombres, de géométrie différentielle, de et de topologieVoir notes précédentes et ..
Le succès de la théorie des représentations a conduit à de nombreuses généralisations. L'une des plus générales est catégorique. Les objets algébriques auxquels s'applique la théorie peuvent être vus comme des cas particuliers de catégories, et les représentations comme des foncteurs, d'une telle catégorie dans celle des espaces vectoriels. Cette description indique deux généralisations évidentes : d'une part, les objets algébriques peuvent être remplacés par des catégories plus générales, et, d'autre part, la catégorie d'arrivée des espaces vectoriels peut être remplacée par d'autres catégories que l'on maîtrise bien.
Définitions et concepts
Soit V un espace vectoriel sur un corps KPour un traitement plus avancé, voir par exemple .. Par exemple, supposons que V est ℝ ou ℂ, l'espace usuel de dimension n des vecteurs colonnes sur le corps ℝ des réels ou celui, ℂ, des complexes. Dans ce cas, l'idée de la théorie des représentations est de faire de l'algèbre abstraite de façon concrète, en utilisant des matrices n × n de nombres réels ou complexes. On peut le faire principalement pour trois types d'objets algébriques : les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie, , .. Le sous-ensemble des matrices n × n inversibles forme un groupe pour la multiplication et la théorie des représentations de groupes analyse un groupe en décrivant – en « représentant » – ses éléments en termes de matrices inversibles. L'addition et la multiplication font de l'ensemble de toutes les matrices n × n une algèbre associative, ce qui donne lieu à la théorie des associatives. Si l'on remplace le produit MN de deux matrices par leur commutateur MN – NM, alors les matrices n × n ne forment plus une algèbre associative mais une algèbre de Lie, et l'on étudie les représentations d'algèbres de Lie.
Ceci se généralise à tout corps K et à tout espace vectoriel V sur K, en remplaçant les matrices par des endomorphismes linéaires et le produit matriciel par la composition : les automorphismes de V forment le groupe GL(V) et les endomorphismes de V forment l'algèbre associative End(V), à laquelle correspond l'algèbre de Lie gl(V).
Définitions
Il y a deux façons d'expliquer ce qu'est une représentationOn trouve ces bases dans les manuels standards comme , , , , , , et .. La première utilise la notion d'action, généralisant la façon dont les matrices agissent par produit sur les vecteurs colonnes. Une représentation d'un groupe G ou d'une algèbre A (associative ou de Lie) sur un espace vectoriel V est une applicationpossédant deux propriétés. Premièrement, pour tout dans G (idem pour A), l'applicationest K-linéaire. Deuxièmement, en introduisant la notation pour , on a, pour tous g1, g2 dans G et tout dans V :où e est l'élément neutre de G et g1g2 est le produit dans G. La condition pour une algèbre associative A est analogue, excepté que A peut ne pas avoir d'élément unité, auquel cas l'équation (1) est omise. L'équation (2) est une expression abstraite de l'associativité du produit matriciel. Elle n'est pas vérifiée par les commutateurs de matrices et pour ces commutateurs, il n'y a pas d'élément neutre, si bien que pour les algèbres de Lie, la seule condition est que pour tous dans A et tout dans V :où est le crochet de Lie, qui généralise le commutateur MN – NM de deux matrices. La seconde façon, plus concise et plus abstraite, met l'accent sur l'application φ qui à tout de G ou A associe φ() : V → V, qui doit vérifier, pour tous dans le groupe G ou l'algèbre associative A : Une représentation d'un groupe G sur un espace vectoriel V est un morphisme de groupes φ : G → GL(V). Une représentation d'une algèbre associative A sur V est un morphisme d'algèbres φ : A → End(V). Une représentation d'une algèbre de Lie a sur V est un morphisme d'algèbres de Lie φ : a → gl(V).
Terminologie
La représentation est notée (V, φ), ou simplement V si le morphisme φ est clair d'après le contexte. L'espace vectoriel V est appelé lespace de la représentation (V, φ) et la dimension n de V est appelée le degré. de (V, φ).
Si ce degré n est fini, le choix d'une base de V permet d'identifier V à Kn et l'on retrouve une représentation par des matrices à coefficients dans K.La représentation (V, φ) est dite fidèle si le morphisme φ est injectif. Pour une algèbre associative, cette notion équivaut à celle de module fidèle. Pour toute représentation d'un groupe G sur un K-espace vectoriel, si la représentation associée de l'algèbre K[G] est fidèle alors la représentation de G l'est aussi, mais la réciproque est fausse, comme le montre l'exemple de la représentation régulière du groupe symétrique S.
Morphismes
Si (V, φ) et (W, ψ) sont deux représentations d'un groupe G, on appelle opérateur d'entrelacement ou morphisme de représentations de la première vers la seconde toute application linéaire α : V → W équivariante, c'est-à-dire telle que pour tout g dans G et tout dans V,
ce qui, en termes des morphismes φ : G → GL(V) et ψ : G → GL(W), s'écrit :
On définit de même les morphismes de représentations d'une algèbre associative ou de Lie.
Si α est inversible, on dit que c'est un isomorphisme de représentations et que les deux représentations sont isomorphes. Elles sont alors, d'un point de vue pratique, « identiques » : elles fournissent la même information sur le groupe ou l'algèbre qu'elles représentent. C'est pourquoi la théorie des représentations cherche à classifier les représentations « à isomorphisme près ».
Les morphismes d'une représentation vers elle-même sont appelés ses endomorphismes. Ils forment une algèbre associative sur le corps de base K.
Sous-représentations et représentations irréductibles
Si (W, ψ) est une représentation, par exemple d'un groupe G, et si V est un sous-espace de W « stable » par l'action de G, c'est-à-dire tel que pour tous g dans G et v dans V, le vecteur g ∙ v appartienne à V, alors V est l'espace d'une sous-représentation : en définissant φ(g) comme la restriction de ψ(g) à V, (V, φ) est une représentation de G et l'inclusion de V dans W est un morphisme de représentations. L'espace vectoriel quotient W/V est alors, lui aussi, muni naturellement d'une représentation de G.
La représentation est dite irréductible si W possède exactement deux sous-espaces stables (qui sont alors l'espace nul et W lui-même).
Le lemme de Schur indique que tout morphisme non nul entre deux représentations irréductibles est un isomorphisme, puisque son noyau et son image sont des sous-représentations. En particulier, la K-algèbre des endomorphismes d'une représentation irréductible est un corps gauche. Si K est algébriquement clos, cette algèbre à division est isomorphe à K car réduite aux homothéties de l'espace.
Les représentations irréductibles sont les briques élémentaires de la théorie des représentations : si une représentation non nulle W n'est pas irréductible, alors elle se décompose en une sous-représentation et une représentation quotient qui sont toutes deux plus simples, en un certain sens ; par exemple si W est de dimension finie, elles sont plus simples au sens où elles sont de degré plus petit.
Sommes directes et représentations indécomposables
Si (V, φ) et (W, ψ) sont deux représentations, par exemple d'un groupe G, alors la somme directe de V et W est canoniquement l'espace d'une représentation, via l'équation :
Cette somme directe de deux représentations contient en général plus d'information sur le groupe G que chacune des deux.
Une représentation est dite indécomposable si elle n'est ni nulle, ni somme directe de deux sous-représentations non nulles.
Elle est dite semi-simple, ou complètement réductible, si elle est somme directe de représentations irréductibles. Dans les bons cas où toute représentation est semi-simple, l'étude des représentations se ramène à celle des représentations irréductibles. Dans le cas général, il faut comprendre comment les représentations indécomposables peuvent être reconstituées à partir de représentations irréductibles, comme extensions d'un quotient par une sous-représentation.
Branches et sujets
La théorie des représentations est remarquable par l'abondance de ses branches et la diversité de ses approches. Bien que toutes les théories aient en commun les concepts de base présentés ci-dessus, elles sont considérablement différentes dans leurs détails. Ces différences sont au moins de trois sortes : Les représentations dépendent de la nature des objets algébriques représentés et comportent des particularités différentes selon la famille de groupes, d'algèbres associatives ou d'algèbres de Lie que l'on étudie ; Elles dépendent aussi du type des espaces vectoriels considérés. La distinction la plus importante est entre les représentations de degré fini et celles de degré infini. On peut imposer des structures additionnelles sur l'espace (de Hilbert, de Banach dans le cas infini, structures algébriques dans le cas fini) ; Enfin, elles dépendent du type du corps de base K. Un cas très étudié est celui du corps des complexes. D'autres cas importants sont le corps des réels, les corps finis et les corps de nombres p-adiques. Des difficultés supplémentaires surgissent lorsque K est de caractéristique positive ou n'est pas algébriquement clos.
Groupes finis