vignette|droite|Les calculs de lumière (ici dans OpenArena, un fork de ) utilisent la racine carrée inverse rapide pour calculer les angles d'incidence et de réflexion.

La racine carrée inverse rapide (en anglais , parfois abrégé Fast InvSqrt() ou par la constante 0x5f3759df en hexadécimal) est une méthode pour calculer , aussi notée , l'inverse de la racine carrée d'un nombre à virgule flottante à simple précision sur . L'algorithme a probablement été développé chez Silicon Graphics au début des années . Il a entre autres été utilisé dans le code source de , un jeu vidéo de tir à la première personne sorti en . À l'époque, le principal avantage de cet algorithme était d'éviter des opérations en virgule flottante, coûteuses en puissance de calcul, en préférant des opérations sur entiers. Les racines carrées inverses sont utilisées pour calculer les angles d'incidence et la réflexion pour la lumière et l'ombre en imagerie numérique.

L'algorithme prend en entrée des flottants de non signés et stocke la moitié de cette valeur pour l'utiliser plus tard. Ensuite, il traite le nombre à virgule flottante comme un entier et lui applique un décalage logique à droite d'un bit et le résultat est soustrait à la valeur « magique » 0x5f3759df. Il en résulte une première approximation de la racine carrée inverse du nombre passé en entrée. En considérant de nouveau les bits comme un nombre à virgule flottante et en appliquant au nombre la méthode de Newton, on améliore cette approximation. Bien que n'assurant pas la précision la plus fine possible, le résultat final est une approximation acceptable de la racine carrée inverse d'un nombre à virgule flottante qui s'exécute quatre fois plus vite qu'une division d'un tel nombre.

Motivation vignette|Les normales à une surface sont largement utilisées dans les calculs d'éclairage et d'ombrage, ce qui nécessite le calcul des normes des vecteurs. Ici, on montre un champ de vecteurs normaux à la surface.

Les racines carrées inverses d'un nombre à virgule flottante sont utilisées pour calculer un vecteur normalisé.. En synthèse d'image 3D, ces vecteurs normalisés sont utilisés pour déterminer l'éclairage et l'ombrage. Des millions de ces calculs sont ainsi nécessaires chaque seconde. Avant l'apparition de matériel dédié au TCL, ces calculs pouvaient être lents. Ce fut particulièrement le cas lorsque cette technique a été développée au début des années où les opérations sur les nombres à virgule flottante étaient plus lentes que les calculs sur entiers.

Afin de normaliser un vecteur, on détermine la longueur de celui-ci en calculant sa norme euclidienne : la racine carrée de la somme du carré de ses composantes. Après avoir divisé chaque composante par cette longueur, on obtient alors un nouveau vecteur unitaire pointant dans la même direction.

est la norme euclidienne du vecteur, de la même manière que l'on calcule une distance dans un espace euclidien.

est le vecteur (unitaire) normalisé. Avec représentant ,

, liant le vecteur unitaire à la racine carrée inverse des composantes.

Aperçu du code Le code source suivant est celui de la fonction Q_rsqrt qui implémente la racine carrée inverse rapide dans . On a retiré du code les directives du (lignes commençant par #), mais on a laissé les commentaires originaux (introduits par //), lignes 552 à 572.. float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F;

x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

return y; }

Afin de déterminer la racine carrée inverse, un programme calculerait une approximation de puis appliquerait ensuite une méthode numérique afin de peaufiner le résultat jusqu'à atteindre une erreur d'approximation acceptable. Des méthodes d'extraction de racine carrée du début des années ont permis d'avoir une première approximation depuis une table de correspondance ; Amsterdam, Boston, Elsevier/Morgan Kaufmann, , -1018 , , .. Cette nouvelle fonction s'est montrée plus efficace que les tables de correspondance et environ quatre fois plus rapide qu'une division flottante classique. L'algorithme a été conçu selon la norme pour les nombres à virgule flottante , mais des recherches de Chris Lomont et ensuite Charles McEniry ont montré qu'il pouvait être implémenté en utilisant d'autres spécifications de nombres à virgule flottante.

Le gain de vitesse apporté par le kludge qu'est la racine carrée inverse rapide vient du traitement du mot doubleL'utilisation du type long réduit la portabilité de ce code sur les systèmes récents. Afin que le code s'exécute, sizeof(long) doit valoir 4 octets sinon la fonction risque de retourner des résultats négatifs. Sur les systèmes récents, sizeof(long) vaut . contenant le nombre à virgule flottante considéré comme entier qui est ensuite soustrait à une constante spécifique : 0x5f3759df. L'utilité de cette constante n'étant pas claire à première vue, on la considère alors comme un nombre magique. Après cette soustraction d'entiers et ce décalage à droite, on obtient un mot double qui, lorsqu'il est considéré comme un nombre à virgule flottante, devient une approximation grossière de la racine carrée inverse du nombre entré. Ensuite, une itération de la méthode de Newton est réalisée afin de gagner en précision et le résultat est retourné. L'algorithme génère des résultats raisonnablement précis en utilisant une seule approximation par la méthode de Newton ; toutefois, il reste plus lent que d'utiliser rsqrtss, une instruction du jeu SSE, sortie elle aussi en sur les processeurs x86..

Exemple pratique

Considérons un nombre , pour lequel on souhaite calculer . Voici les premières étapes de l'algorithme :

0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Trame binaire de x et i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Décalage à droite d'une position : (i >> 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 Le nombre magique 0x5f3759df 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 le résultat de 0x5f3759df - (i >> 1)

En utilisant la représentation IEEE 754 sur :

0_01111100_01000000000000000000000 1.25 * 2^-3 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 * 2^-65 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... * 2^+63 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... * 2^+1

En réinterprétant la dernière trame binaire en tant que nombre à virgule flottante on obtient l'approximation ayant une erreur relative d'environ 3,4 %. Après une itération de la méthode de Newton, le résultat final est avec une erreur de seulement 0,17 %.

Fonctionnement de l'algorithme

L'algorithme calcule en effectuant les étapes suivantes:

Transforme l'argument en entier afin d'appliquer une approximation de ; Utilise cet entier pour calculer une approximation de ; Transforme celui-ci afin de revenir à un nombre flottant afin d'effectuer une approximation de l'exponentielle base-2 ; Affine l'approximation en utilisant une itération de la méthode de Newton.

Représentation en nombre flottant

Puisque cet algorithme s'appuie fortement sur la représentation bit à bit des nombres à virgule flottante simple précision, un aperçu rapide de ce système est fourni ici. Afin d'encoder un nombre réel non nul en tant que flottant de simple précision, on commence par écrire comme un nombre binaire en notation scientifique :

Où l'exposant est un entier, , et est la représentation binaire de la « mantisse » . Notons qu'il n'est pas nécessaire d'enregistrer le bit avant la virgule dans la mantisse car il vaut toujours 1. Avec ce formalisme, on calcule trois entiers :

, le « bit de signe », valant 0 si ou 1 si () ; est l'« exposant biaisé » où est le doit être dans le domaine afin que soit représentable comme un . () ; , où Les seuls réels pouvant être représentés exactement comme des nombres à virgule flottante sont ceux pour lesquels est un entier. Les autres nombres ne peuvent être représentés que de façon approchée en les arrondissant au nombre représentable le plus proche. ().

Ces valeurs sont ensuite condensées de gauche à droite dans un conteneur .

Par exemple, en utilisant le nombre . En normalisant on a :

Donc, les trois valeurs entières non signées sont :

.

Ces champs sont condensés comme ceci :

centré

Approcher un logarithme en passant à l'entier

S'il fallait calculer sans un ordinateur ou une calculatrice, une table de logarithmes serait utilement accompagnée de l'identité valide quelle que soit la base . La racine carrée inverse rapide repose sur cette dernière ainsi que sur le fait que l'on puisse effectuer un logarithme approximatif d'un nombre en passant d'un float32 à un entier.

Explications :

Soit un positif :

On a alors

Mais puisque , le logarithme de la partie droite peut être arrondi par :

où est un paramètre arbitraire permettant de régler l'arrondi. Par exemple : fournit des résultats exacts aux bords de l'intervalle tandis que fournit l'approximation optimale.

vignette|L'entier converti en nombre flottant (en bleu), comparé à un logarithme décalé et mis à l'échelle (en gris).

Alors nous avons l'approximation

D'un autre côté, en interprétant la représentation binaire de en tant qu'entier, on obtient puisque . :

On remarque alors que est une approximation linéaire mise à l'échelle et décalée de , comme présenté sur le graphique ci-contre. En d'autres termes, est approché par

Première approximation du résultat Le calcul de est fondé sur l'identité

En utilisant l'approximation du logarithme telle que précédemment définie et appliquée à et , l'équation devient :

Qui s'écrit en code C :

i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

Le premier terme étant le nombre magique

à partir duquel on déduit . Le second terme, , est déterminé en décalant à droite une fois les bits de ..

Méthode de Newton

Après avoir appliqué ces opérations, l'algorithme considère de nouveau le mot double comme nombre flottant () et effectue une multiplication en nombre flottant (). Celle-ci étant une itération de la méthode de Newton permettant de trouver des solutions à une équation donnée. Pour ce même exemple :

est la racine carrée inverse, ou encore, en fonction de y :

.

Avec représentant l'expression générale de la méthode de Newton avec comme première approximation,

est l'expression particulière où et .

Ainsi y = y*(1.5f - xhalf*y*y); est semblable à

La première approximation est générée en utilisant les opérations en tant qu'entiers puis fournie aux deux dernières lignes de code de la fonction. Des itérations répétées de cet algorithme en utilisant la sortie de la fonction () comme argument pour l'itération suivante fait converger l'algorithme sur la racine avec une incertitude de plus en plus faible. Une seule itération a été utilisée dans le cadre du moteur de , une seconde itération ayant été commentée et laissée.

Histoire et enquête

Le code source de a été diffusé après la QuakeCon , mais des copies de la racine carrée inverse rapide sont apparues sur Usenet et d'autres forums dès /.

Les spéculations à l'époque pointent comme auteur probable de la fonction John Carmack, cofondateur d'id Software, l'entreprise qui a développé les jeux Quake. Mais Carmack dément la chose et suggère que la fonction a été écrite par Terje Mathisen, un programmeur assembleur talentueux qui a aidé les développeurs d'id Software pour optimiser Quake.

Mathisen a effectivement écrit une fonction similaire à la fin des années , mais les auteurs originaux remontent à plus loin dans l'histoire de l'infographie 3D avec l'implémentation faite par Gary Tarolli pour un qui serait l'une des premières utilisations connues.

Rys Sommefeldt, auteur de l'enquête, finit par conclure que l'algorithme original est l'œuvre de Greg Walsh de en collaboration avec Cleve Moler, fondateur de MathWorks.