En mathématiques, le théorème de Freiman est un résultat combinatoire de théorie additive des nombres dû à , Zbl. 0859.11003. – traduit du russe, dans Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 158, 1964, , Zbl. 0163.29501. – traduit du russe, Kazan Gos. Ped. Inst., 1966, 140 p., Zbl 0203.35305., Zbl 0958.11008. selon lequel, pour un ensemble fini A d'entiers, si la somme de A avec lui-même n'est « pas trop grosse » par rapport à A, alors A est inclus dans une progression arithmétique généralisée elle-même « pas trop grosse ».
Énoncé
Pour toute constante c > 0, il existe un entier naturel n et une constante c' tels que. :
pour tout ensemble fini A d'entiers tel que card(A + A) ≤ c card(A), il existe des entiers a, q, … , q, l, … , l tels que
Un cas simple instructif est le suivant. : on a toujours card(A + A) ≥ 2 card(A) – 1, avec égalité si et seulement si A est une progression arithmétique.
L'intérêt pour ce théorème et ses généralisations et applications a été ravivé par une nouvelle preuve due à ., Zbl 0816.11008.. En 2002, Mei-Chu Chang a donné de nouvelles estimations polynomiales de la taille des progressions arithmétiques qui apparaissent dans le théorème..
Green et Ruzsa ont généralisé le théorème pour un groupe abélien arbitraire. : ici, A peut être contenu dans la somme d'une progression arithmétique généralisée et d'un sous-groupe.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Théorème d'Erdős-Szemerédi Théorème de Kneser (combinatoire) Spectre de Markov Lien externe Hamidoune’s Freiman-Kneser theorem for nonabelian groups, , sur le blog de Terence Tao
Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Combinatoire Freiman