En mathématiques, une famille intersectante sur un ensemble E est une famille de parties de E deux à deux non disjointes, c'est-à-dire telle que l'intersection de deux quelconques de ces parties soit non vide.
Exemples Si n < 2r, les parties de l'ensemble {1, 2, … , n} qui ont un cardinal supérieur ou égal à r forment une famille intersectante sur cet ensemble (et sur tout sur-ensemble). Toute sous-famille d'une famille intersectante est intersectante. Tout filtre est une famille intersectante.
Propriétés Le cardinal d'une famille intersectante sur un ensemble à n éléments est trivialementMartin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, p. 164 inférieur ou égal à 2. Une famille intersectante à n éléments maximale (dont la cardinalité est 2) est une section commençante et l'ensemble des compléments des éléments de la famille forme une section finissante. On appelle k-famille intersectante une famille intersectante dont toutes les parties ont k éléments. Le théorème d'Erdős-Ko-Rado précise le cardinal maximum d'une k-famille intersectante, sur un ensemble à n éléments. D'après un théorème de Daniel Kleitman, la réunion de m familles intersectantes, sur un ensemble à n éléments, contient au plus 2 – 2 partiesDémonstration dans « Intersecting families of sets », sur le site Uniformly at Random.
Notes et références
Catégorie:Système d'ensembles