Le théorème d'Erdős-Fuchs, en théorie combinatoire des nombres, a pour objet le nombre de façons de représenter un entier naturel n comme somme de deux éléments d'un ensemble donné. Il établit que la moyenne de Cesàro de cette fonction de n ne peut pas tendre « très vite » vers une constante non nulle.
Énoncé Pour un ensemble fixé A d'entiers naturels, on associe à tout entier n le nombre r(n) de couples d'éléments de A dont n est la somme, et on note
Si
alors
Motivation Si A est l'ensemble des carrés parfaits, r(0) + … + r(n) est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque x, y ≥ 0, x + y ≤ n donc R(n) → /4 avec une différence en O(n) et même, , en o(n). Il est conjecturé que c'est en fait un O(n) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, que ce n'est pas un O(n). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments.
Notes et références
Article lié Fonction à variation lente Liens externes « Erdős-Fuchs theorem », PlanetMath
Erdos-Fuchs Erdos-Fuchs