Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité..
Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes. :
permuter deux lignes entre elles ; ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ; multiplier une ligne par un scalaire non nul.
Exemples
Opération effectuée sur la matrice identité Matrice type de matriceéchanger lignes et matrice de permutationmultiplier ligne par 5matrice de dilatationajouter 5×ligne à la ligne matrice de transvection
Propriétés Par examen direct des trois types, on vérifie que toute matrice élémentaire est inversible et que l'inverse et la transposée sont des matrices élémentaires.
Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).
En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M..
Remarque Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres.. En effet,
Notes et références
Articles connexes Générateurs de GL et SL Lemme de Whitehead Groupe de Steinberg (K-théorie)
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