thumb|Image composite montrant la planète Neptune vue de sa lune Triton.
La découverte de Neptune est la première découverte d'un objet céleste réalisée grâce au calcul mathématique avant de l'être par l'observation. Longtemps objet de débats quant à sa paternité, elle est aujourd'hui attribuée sans conteste à l'astronome français Urbain Le Verrier, qui a prédit mathématiquement l'existence et la position de la planète. Les résultats de Le Verrier, publiés fin après deux ans de calculs à partir de la trajectoire et des caractéristiques d'Uranus, conduisent l'astronome allemand Johann Gottfried Galle, assisté par son compatriote Heinrich Louis d'Arrest, à observer dans la nuit du 23 au à l'Observatoire de Berlin la planète à moins d'un degré de la position théorique déterminée par Le Verrier.
Rétrospectivement, on sait que Neptune avait été observée antérieurement par plusieurs astronomes parmi lesquels Galilée (dès 1612), Michel Lalande et John Herschel, mais ces derniers n'avaient pas détecté sa nature planétaire. La découverte mathématique de Neptune est considérée comme une confirmation de l'efficacité de la théorie de la gravitation de Newton. Comme le dit François Arago, La phrase complète d'Arago est : Extrait des Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, , juillet-décembre 1846, ..
La paternité de la découverte a suscité une certaine controverse entre la France et l'Angleterre, où John Couch Adams a effectué des calculs antérieurs à Le Verrier mais insuffisamment fiables et trop peu précis sur la nature et la position du « corps perturbateur » de l'orbite d'Uranus.
La découverte de Neptune a aussi conduit à la découverte de son satellite le plus gros, Triton, dix-sept jours plus tard par William Lassell.
Premières observations
Neptune est invisible à l’œil nu car sa magnitude apparente n'est jamais inférieure à 7,7. Les premières observations de Neptune ne furent donc possibles qu'après l'invention du télescope.
Neptune a été vue par Galilée en 1612-1613, Michel Lalande en 1795 et John Herschel en 1820, mais aucun n'a officiellement reconnu la planète à l'époque. Ces observations ont été très importantes plus tard pour déterminer avec précision l'orbite de Neptune. Neptune semble bien en évidence, même dans les premiers télescopes, ce qui apporte de la crédibilité aux premières observations.
Les dessins de Galilée montrent qu'il a observé Neptune le et à nouveau le . Lors des deux observations, redécouvertes en 1980 par Charles T. Kowal, Galilée croit que Neptune est une étoile fixe. Au moment de sa première observation, Neptune était immobile dans le ciel parce qu'elle commençait à ce moment son mouvement rétrograde. Son mouvement a alors été jugé trop léger et sa taille apparente trop petite, pour être considérée comme une planète dans le petit télescope de Galilée. Cependant, en , le physicien David Jamieson de l'université de Melbourne a annoncé que Galilée était possiblement conscient qu'il avait découvert quelque chose d'inhabituel à propos de cette « étoile ». Dans un de ses carnets, Galilée a noté le déplacement d'une étoile en arrière-plan (Neptune) le et un point (position de Neptune) que le physicien a trouvé sur un croquis antérieur, tiré de la nuit du , établi dans une encre différente suggérant une recherche systématique parmi ses observations précédentes.
En 1847, Sears Cook Walker de l'Observatoire naval des États-Unis, a recherché des documents historiques et il a enquêté sur des observations antérieures possibles de la planète Neptune. Il a constaté que les observations faites par l'équipe de Jérôme Lalande à l'Observatoire de Paris en 1795 étaient en direction de la position de Neptune dans le ciel. Dans les observations du catalogue du 8 et du , une étoile a été observée dans la position approximative de Neptune. L'incertitude de la position a été notée par une virgule. Cette notation a également été utilisée pour indiquer une erreur d'observation, ce n'est qu'après examen des documents originaux de l'observatoire qu'il a été établi avec certitude que l'objet était Neptune et que l'erreur de position dans les nuits du 8 et était due à celle de la planète en mouvement dans le ciel. La découverte, en 1795, de ces dossiers sur la position de Neptune a permis de calculer son orbite de façon plus précise..
John Herschel a observé Neptune en 1830 par hasard tout comme son père William Herschel a découvert Uranus en 1781. Dans une lettre de 1846 adressée à Friedrich Georg Wilhelm von Struve, Herschel note qu'il a observé Neptune lors d'un balayage du ciel le . Même si son télescope était assez puissant pour apercevoir Neptune en un petit disque bleu, permettant ainsi de la distinguer d'une étoile, Herschel ne la reconnait pas à l'époque et pense que c'est une étoile.
Irrégularités dans l'orbite d'Uranus
En 1781, Anders Johan Lexell est le premier à remarquer des irrégularités en calculant l'orbite d'Uranus. Il suggère qu'il pourrait y avoir d'autres planètes dans le Système solaire qui perturbent l'orbite de cette planète, considérant que le Système solaire s'étend aussi loin que .
En 1821, Alexis Bouvard publie des tables astronomiques de l'orbite d'Uranus, faisant des prédictions de positions futures basées sur les lois du mouvement de Newton et sur la gravitation. Des observations ultérieures révèlent des écarts importants dans les tables, amenant Bouvard à émettre l'hypothèse de certains corps perturbants. Ces irrégularités, ou « résidus », à la fois dans la longitude écliptique et à la distance au Soleil de la planète, pourraient s'expliquer par un certain nombre d'hypothèses. L'effet de la gravité du Soleil, à une si grande distance, pourrait différer de la description de Newton. Les écarts pourraient également tout simplement être des erreurs d'observation. Finalement, Uranus pouvait être perturbée par une huitième planète encore inconnue .
L’idée de l’existence d’une planète qui troublerait le mouvement d’Uranus était donc dans l’air bien avant l’intervention d'Adams et de Le Verrier, et il ne faut donc pas s’étonner que plusieurs astronomes aient essayé comme lui de prédire sa position par le calcul. D'ailleurs, dès avant 1840, Friedrich Wilhelm Bessel, qui avait insisté sur l’existence possible de « masses troublantes », avait chargé son élève Friedrich Wilhelm Flemming (1812-1840) de rassembler et de réduire les observations d’Uranus pour les comparer aux tables. Sans résultat, probablement à cause de la longue maladie du premier et la disparition prématurée du second.
John Couch Adams apprend les irrégularités de l'orbite d'Uranus alors qu'il est étudiant. Il est alors convaincu que l'hypothèse de la « perturbation » est bonne. Adams décide alors de calculer la masse, la position et l'orbite du corps perturbant en n'utilisant rien de plus que la loi de la gravitation universelle de Newton.
En termes modernes, le problème est un problème inverse, c'est-à-dire une tentative de déduire les paramètres d'un modèle mathématique à partir des données observées. Bien que le problème soit simple pour les outils des mathématiques, à l'époque, il demande beaucoup de calculs laborieux à la main.
Adams commence par supposer une position pour le corps hypothétique en utilisant la loi de Bode. Il calcule ensuite la trajectoire d'Uranus en utilisant la position supposée du corps troublant et calcule également la différence entre sa trajectoire calculée et les observations (ce qu'on appelle aujourd'hui les résidus). Il ajuste ensuite les caractéristiques du corps troublant de la façon suggérée par les résidus et répète le processus, par une approche similaire à celle de la régression.
Le , James Challis, directeur de l'Observatoire de Cambridge, demande, pour Adams, des données sur la position d'Uranus à l'astronome royal George Biddell Airy de l'Observatoire royal de Greenwich. Par la suite, Adams fait des retouches au moins jusqu'au .
François Arago, qui est responsable de l’Observatoire de Paris, souhaite évidemment que le problème d’Uranus y soit traité. Alexis Bouvard mort, Arago ne voit personne à l’Observatoire qui soit capable d’aborder un problème aussi difficile. Au cours de l’été 1845, il demande à un jeune astronome extérieur à l’Observatoire, Urbain J.J. Le Verrier, de s’y attaquer. Peu après, le , Le Verrier présente un mémoire sur Uranus à l'Académie des sciences de Paris, montrant que la théorie préexistante ne rendait pas bien son mouvement. Au courant des travaux d'Adams, il tente une enquête similaire et calcule la position du corps perturbateur proposé. Il présente ses résultats le à l'Académie, rejetant toutes les autres hypothèses pouvant expliquer les écarts du mouvement d'Uranus :
Course à la découverte
Après avoir reçu en Angleterre les nouvelles de la prédiction de juin de Le Verrier, George Airy a immédiatement reconnu la similitude des solutions de Le Verrier et Adams. Jusqu'à ce moment, le travail d'Adams avait été un peu plus qu'une curiosité, mais une confirmation indépendante de Le Verrier incita Airy à organiser une tentative secrète pour trouver la planète. En , lors d'une réunion du Conseil des visiteurs de l'observatoire de Greenwich, avec Challis et Sir John Herschel présents, Airy suggère que Challis cherche la planète d'urgence avec le télescope à monture équatoriale de de Cambridge. La recherche débute le . Adams continue à travailler sur le problème, en fournissant à l'équipe britannique six solutions en 1845 et 1846 qui amènent Challis à chercher dans la mauvaise partie du ciel. Ce n'est qu'après que la découverte de Neptune a été annoncée à Paris et à Berlin qu'il est devenu évident que Neptune avait été observée à Cambridge le et le . Cependant, puisque Challis n'avait pas une carte d'étoiles à jour, elle n'a pas été reconnue comme une planète.
Le Verrier donne une position précise du corps perturbateur dans un second mémoire présenté à une réunion publique de l'Académie le , donnant maintenant la masse et l'orbite du nouveau corps. Peu après, il écrit à plusieurs astronomes étrangers qu’il sait disposer d’instruments puissants et surtout de bonnes cartes du ciel qui n’existent pas non plus à l’Observatoire de Paris. D’ailleurs, malgré les efforts d’Arago, on ne découvrira pas la planète à Paris.
Johann Gottfried Galle de l'Observatoire de Berlin reçoit la lettre de Le Verrier le et se met immédiatement au travail en observant le soir-même la région suggérée par Le Verrier avec son télescope de . L'étudiant de Galle, Heinrich Louis d'Arrest, suggère qu'une carte du ciel récemment dessinée de l'emplacement du ciel suggéré par Le Verrier pourrait être comparée avec les nouvelles observations afin de chercher la caractéristique de déplacement d'une planète par opposition à une étoile fixe. Galle passe au peigne fin toutes les étoiles de la région, pendant que Louis d'Arrest vérifie si l'astre observé est répertorié sur les cartes stellaires récentes de Bremiker.
Neptune est découverte peu après minuit, après moins d'une heure de recherche et à moins de de la position que Le Verrier avait prédite. Il attend quelques heures pour vérifier si l'astre a bien bougé, avant de confirmer qu'il s'agit bien de la planète recherchéeAux confins du système solaire de Emmanuel Lellouch, Alain Doressoundiram, André Brahic .. Après deux nuits supplémentaires d'observations dans lesquelles sa position et son mouvement sont vérifiés, Galle répond à Le Verrier : (mis en évidence dans l'original).