vignette|On peut définir deux automorphismes sur le graphe maison : l'identité et la permutation qui échange les deux « murs » de la « maison ». En mathématiques et en particulier en théorie des graphes, un automorphisme de graphe est une bijection de l'ensemble des sommets vers lui-même qui préserve l'ensemble des arêtes.
On peut voir l'automorphisme de graphes comme un isomorphisme de graphes du graphe dans lui-même. On peut en général s'arranger pour mettre en évidence visuellement les automorphismes de graphes sous forme de symétries dans le tracé du graphe.
Définition formelle Un automorphisme f d'un graphe G = (V, E) est une permutation dans l'ensemble des sommets V telle qu'une paire de sommets (u, v) forme une arête si et seulement si (f(u), f(v)) forme aussi une arête.
Les automorphismes peuvent être définis ainsi à la fois dans le cas des graphes orientés et des graphes non orientés.
Propriétés Tout graphe possède au moins un automorphisme, l'identité, qui transforme chaque sommet en lui-même.
Si f est un automorphisme dans un graphe G et si u est un sommet de ce graphe, alors :
Autrement dit, un automorphisme de graphe ne modifie pas le degré des sommets d'un graphe. La réciproque n'est pas vraie : ce n'est pas parce qu'une permutation des sommets d'un graphe ne modifie pas leur degré que c'est un automorphismeCharles Delorme et M.-C. Heydemann, Graphes de Cayley - Définitions, site du Laboratoire de Recherche en Informatique de l'Université Paris-Sud..
Composition d'automorphismes La composition de deux automorphismes est un autre automorphisme. L'ensemble des automorphismes d'un même graphe muni de l'opération de composition forme un groupe, le groupe des automorphismes de ce graphe.
En sens inverse, le théorème de Frucht montre que tous les groupes peuvent être représentés par le groupe des automorphismes d'un graphe connexe., et même d'un graphe cubique..
Les familles de graphes définies par leurs automorphismes vignette|Le graphe de Frucht a beau être 3-régulier, son seul automorphisme est l'identité. Plusieurs familles de graphes sont définies d'après leurs automorphismes : Un graphe asymétrique est un graphe dont le seul automorphisme est l'identité (illustration). Un graphe sommet-transitif est un graphe dans lequel n'importe quel sommet peut être transformé en n'importe quel autre sommet par un automorphisme. Un graphe arête-transitif est un graphe dans lequel n'importe quelle arête peut être transformée en n'importe quelle autre arête par un automorphisme. Un graphe symétrique est un graphe dans lequel n'importe quelle paire de sommets adjacents peut être transformée par un automorphisme en une autre paire de sommets adjacents. Un graphe graphe distance-transitif est un graphe dans lequel n'importe quelle paire de sommets peut être transformée en n'importe quelle autre paire de sommets à la même distance l'un de l'autre par un automorphisme. Un graphe semi-symétrique est un graphe qui est arête-transitif mais pas sommet-transitif. Un graphe demi-transitif est un graphe qui est arête-transitif et sommet-transitif, mais pas symétrique.
Les relations d'inclusion entre ces familles sont indiquées par le schéma suivant :
centré|120px|Dodécaèdre|link=Graphe dodécaédrique sans_cadre|centré|40px centré|120px|Graphe de Shrikhande|link=Graphe de Shrikhande sans_cadre|centré|40px centré|120px|Graphe de Paley|link=Graphe de Paley Graphe distance-transitif Graphe distance-régulier Graphe fortement régulier sans_cadre|centré|15px centré|120px|Graphe F26A|link=Graphe F26A sans_cadre|centré|40px centré|120px|Graphe de Nauru|link=Graphe de Nauru Graphe symétrique (arc-transitif) Graphe t-transitif, t ≥ 2 sans_cadre|centré|15px| (si connexe) centré|120px|Graphe de Holt|link=Graphe de Holt sans_cadre|centré|40px centré|120px|Graphe de Folkman|link=Graphe de Folkman sans_cadre|centré|40px centré|120px|Graphe biparti complet K3,5|link=Graphe biparti complet Graphe demi-transitif Graphe semi-symétrique Graphe arête-transitif sans_cadre|centré|15px sans_cadre|centré|15px centré|120px|Tétraèdre tronqué|link=Graphe tétraédrique tronqué sans_cadre|centré|40px centré|120px|Graphe de Frucht|link=Graphe de Frucht Graphe sommet-transitif Graphe régulier sans_cadre|centré|15px centré|120px|Prisme triangulaire|link=Prisme triangulaire Graphe de Cayley
Notes et références
Article connexe Morphisme de graphes
Catégorie:Théorie algébrique des graphes
de:Automorphismus#Graphen