La notion d'hyperfonction, due à Mikio Satō, généralise celle de distribution (au sens de Schwartz). Les hyperfonctions sur la droite réelle se définissent comme différences des « valeurs au bord » sur l'axe réel de fonctions holomorphes ; elles permettent de trouver des solutions non triviales à des équations différentielles linéaires dont la seule solution est nulle dans l'espace des distributions. L'espace des hyperfonctions est donc « plus gros » que celui des distributions; alors qu'une distribution est « localement d'ordre fini », une hyperfonction peut être « localement d'ordre infini » car elle est « localement » une fonctionnelle analytique (i.e., une forme linéaire continue sur un espace de fonctions analytiques). Un autre avantage est que le faisceau des hyperfonctions est « flasque » (c'est-à-dire que le morphisme de restriction d'un ouvert à un ouvert plus petit est surjectif), propriété qui n'est pas partagée par le faisceau des distributions. Enfin, les hyperfonctions sont des classes de cohomologie à coefficients dans le faisceau des fonctions analytiques ; une telle interprétation cohomologique est tout à fait étrangère à la théorie des distributions, et elle explique que les hyperfonctions se prêtent mieux que les distributions à un traitement algébrique des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles (« analyse algébrique »). À la suite des travaux de Satō, la théorie des hyperfonctions a été développée par plusieurs mathématiciens, parmi lesquels on peut citer Komatsu , Martineau, Harvey et Schapira. Elle a donné lieu à plusieurs ouvrages didactiques développant des points de vue différents . Le présent article reprend dans ses grandes lignes, avec quelques compléments, la présentation d'un ouvrage qui expose, entre autres, l'application des hyperfonctions à la théorie des systèmes linéaires (au sens de l'automatique).
Hyperfonctions dans un ouvert de la droite réelle
Définition d'une hyperfonction
Soit un ouvert de la droite réelle. Un voisinage complexe de se définit comme étant un ouvert U du plan complexe qui est relativement fermé dans , c'est-à-dire dont l'intersection avec l'axe réel est . Le sous-ensemble du plan complexe est ouvert.
On note (resp. ) la -algèbre des fonctions à valeurs complexes, analytiques dans U (resp. ). Puisque (avec une notation évidente), on peut former le quotient
On montre grâce à un théorème dû à Mittag-Leffler que ne dépend que de et non du voisinage complexe U considéré, ce qui justifie la notation. On peut donc aussi écrire
où est le système inductif des voisinages complexes de ordonnés par l'inclusion.
L'espace est égal à , i.e. au premier groupe de cohomologie de U modulo et coefficients dans le faisceau des fonctions holomorphes (il s'agit de pour des couples ouverts, développée par Satō et indépendamment, dans un cadre plus général, Grothendieck). Il en résulte que est un faisceau.
Soit . Puisque où , la fonction analytique ci-dessus peut s'écrire de manière unique sous la forme où . Son image canonique dans l'espace quotient (i.e. l'hyperfonction définie par cette fonction analytique) est notée . En tirant parti de la seconde expression ci-dessus de , en tant que limite inductive, on écrit pour tout
.
On appelle une fonction de définition de . On a (par définition) si (et seulement si) . Les valeurs au bord de la fonction holomorphe sont
et
où et (on notera que et appartiennent toutes deux à ). On définit les deux opérateurs valeurs au bord .
Opérations sur les hyperfonctions
Multiplication par une fonction analytique
Soit . Il existe un voisinage complexe U de tel que f se prolonge sur U; soit un tel prolongement. On définit alors le produit
,
ce qui confère à une structure de -module.
Plongement de l'espace des fonctions analytiques dans l'espace des hyperfonctions
Soit et son prolongement à un voisinage complexe de . Considérons l'hyperfonction . L'application est bien définie et injective de dans , ce qui permet de plonger le premier espace dans le second.
Dérivation
La dérivée (où ) se définit par la relation
.
Plus généralement, soit un opérateur différentiel à coefficients analytiques. On définit, en posant
.
Ceci est encore possible si P est un opérateur d'ordre infini, c'est-à-dire si l'on remplace ci-dessus n par , sous réserve que la série converge dans l'espace de Fréchet (muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact). Un tel opérateur n'aurait bien entendu aucun sens appliqué à une distribution.
Restriction et support d'une hyperfonction
Soit un ouvert de la droite réelle, , et un ouvert de la droite réelle inclus dans . On définit la restriction de à par la relation . On a les deux résultats suivants:
Exemples d'hyperfonctions
Hyperfonction de Dirac et ses dérivées Soit un intervalle ouvert de la droite réelle contenant 0 et considérons l'hyperfonction
.
Soit et U un voisinage complexe simplement connexe de , suffisamment petit pour que admette un prolongement à U, prolongement que nous noterons de nouveau pour ne pas compliquer les écritures. Nous supposerons de plus que U a un bord qui, orienté de manière canonique, est un lacet continûment dérivable (nous dirons alors que le bord est régulier ; par extension, dans la suite, un bord régulier pourra être la réunion de bords réguliers au sens restreint qui vient d'être défini si ces bords sont deux à deux disjoints). L'hyperfonction agit comme suit sur :
.
Le théorème intégral de Cauchy entraîne que , ce qui correspond bien à la « fonction généralisée » de Dirac représentant la masse +1 au point 0.
La dérivée d'ordre n de est donnée par
Soit une fonction analytique définie comme ci-dessus. Le théorème intégral de Cauchy entraîne , formule analogue à celle que l'on obtient avec la dérivée d'ordre n de la distribution de Dirac.
On notera que l'hyperfonction de Dirac et toutes ses dérivées ont pour support .
Hyperfonction de Heaviside
L'hyperfonction de Heaviside est définie par
où est la détermination principale du logarithme, et on vérifie immédiatement que sa dérivée est égale à l'hyperfonction de Dirac .
Une hyperfonction d'ordre infini
D'après ce qui précède, on a si , cette hyperfonction étant nulle pour . On a d'autre part , par conséquent
qui est une hyperfonction de support . Cette hyperfonction étant d'ordre infini, elle ne peut pas être identifiée à une distribution (qui est toujours localement d'ordre fini), ce qui est dû au fait que 0 est un point singulier essentiel de la fonction de définition.
Hyperfonctions à support compact
Définition
Soit Ω un ouvert de la droite réelle et K un sous-ensemble compact de Ω. Soit l'espace des germes de fonctions analytiques définies dans un voisinage (ouvert) complexe de K, à savoir la limite inductive
Soit également l'espace des hyperfonctions sur Ω de support inclus dans K. L'espace des formes linéaires continues sur est un espace de Fréchet-Schwartz nucléaire, et il en va de même de . Il résulte d'un théorème dû à Köthe que les deux espaces et sont algébriquement et topologiquement isomorphes, et peuvent donc être identifiés.
Plus précisément, soit , et U un voisinage complexe de K, inclus dans et de bord régulier. Le crochet de dualité est défini par
.
L'espace des hyperfonctions à support compact a donc une « bonne structure » d'espace vectoriel topologique, ce qui n'est pas le cas de l'espace des hyperfonctions à support quelconque, qu'on ne peut munir que de la topologie grossière (voir infra).
Convolution
Soit , , , et
.
où U est un voisinage complexe suffisamment petit de . Alors et on peut donc définir l'hyperfonction
appelée le produit de convolution des deux hyperfonctions à support compact et . Ce produit de convolution peut encore être défini si seule est à support compact.
Hyperfonction définie par une distribution à support compact
Soit Ω un ouvert de la droite réelle, K un sous-ensemble compact de Ω et T une distribution à support inclus dans K. Soit d'autre part un voisinage complexe de K à bord régulier et pour
(où, pour simplifier l'écriture, on a noté T comme une mesure). Alors est l'hyperfonction définie par la distribution T. Le support de cette hyperfonction est identique à celui de T et l'application est injective, ce qui permet de plonger l'espace des distributions à support compact dans l'espace des hyperfonctions à support compact. Par exemple, on vérifie immédiatement que est bien l'hyperfonction de Dirac définie plus haut.
Plongement de l'espace des distributions dans l'espace des hyperfonctions
Principe général
Toute hyperfonction dans un ouvert de la droite réelle peut s'écrire comme la somme d'une série localement finie d'hyperfonctions dans à support compact. Il en va de même pour une distribution. Grâce à la construction précédente, on peut donc plonger l'espace des distributions dans , dans l'espace des hyperfonctions dans . Ce plongement conserve le support.
Exemple
Considérons le peigne de Dirac Ш où est la distribution de Dirac représentant la masse +1 au point n. Il s'agit d'une distribution tempérée, de support non compact. On lui associe canoniquement l'« hyperfonction peigne de Dirac »
Ш.
Support et spectre singuliers; multiplication des hyperfonctions
Support singulier
Le support singulier d'une distribution (resp. d'une hyperfonction ) est l'ensemble des points de pour lesquels il n'existe aucun voisinage ouvert tel que la restriction soit une fonction indéfiniment dérivable (resp. une fonction analytique réelle). Le support singulier d'une distribution ou d'une hyperfonction est un sous-ensemble fermé de son support.
Schwartz a montré qu'on ne pouvait pas multiplier deux distributions quelconques. Mais on peut multiplier deux distributions dont les supports singuliers sont disjoints. Il en va de même des hyperfonctions, mais leur multiplication est possible dans des cas plus généraux. Pour expliciter la condition qui rend possible la multiplication des hyperfonctions, la notion de spectre singulier est nécessaire.
Spectre singulier
Définition
Considérons la réunion disjointe , où , et notons le point de dont la projection sur est x. Soit cette projection.
Soit où , U étant un voisinage complexe de , et soit . L'hyperfonction T est dite micro-analytique au point (resp. ) de si (resp. ) peut être prolongée analytiquement dans un voisinage ouvert de . Cela revient à dire qu'il existe un voisinage réel de , un voisinage complexe de et une fonction tels que (resp. ).
On appelle spectre singulier de T, et on note , l'ensemble des points de auxquels T n'est pas micro-analytique. Il découle des définitions que .
Exemples
Considérons l'hyperfonction de Dirac . On a , .
Considérons l'hyperfonction . On a , , .
Multiplication des hyperfonctions
Soit lapplication antipolaire .
Exemples
On peut définir le produit .
On peut définir le produit si T est micro-analytique aux deux points et . On a alors .
Plus généralement, on peut définir le produit si T est micro-analytique aux points et . On a alors
.
Cette expression a bien un sens puisqu'il existe un voisinage ouvert réel de 0 tel que est une fonction analytique.
Hyperfonctions de Laplace
L'espace des hyperfonctions de Laplace à support limité à gauche se définit par
où, lorsque est un ouvert du plan complexe réunion de cônes fermés de la forme , désigne les fonctions holomorphes de type exponentiel dans , c'est-à-dire les fonctions holomorphes qui satisfont à une relation telle que
pour chaque cône fermé .
On peut définir la transformée de Laplace d'une hyperfonction de Laplace à support limité à gauche , et la transformation de Laplace est injective. Considérons, pour simplifier, une hyperfonction T à support compact (ce qui implique qu'elle est une hyperfonction de Laplace); sa transformée de Laplace est alors la fonction entière définie par la relation
où . Par exemple, et en posant ,