En analyse, le théorème de Mazur-Ulam caractérise les isométries bijectives entre espaces vectoriels normés réels. Il a été publié par Mazur et Ulam en 1932, en réponse à une question posée par Banach, note 1..
Énoncé
Il en résulte immédiatement (notes de préparation à l'agrégation de mathématiques), . que F est affine et que si l'on impose en plus que F(0) = 0, F est linéaire.
Remarques L'injectivité de F est assurée par son caractère isométrique mais l'hypothèse de surjectivité est indispensable, à moins que l'espace d'arrivée soit strictement convexe..
La version complexe du théorème n'est pas valide : Jean Bourgain a démontré en 1986, par une méthode probabiliste, l'existence d'un espace de Banach complexe qui n'est même pas isomorphe, en tant que ℂ-espace vectoriel topologique, à son conjugué et Nigel Kalton en a fourni un exemple explicite.. Ceci contraste avec le fait que deux espaces de Banach (ou même de Fréchet) sont homéomorphes dès qu'ils sont séparables ou plus généralement, dès qu'ils ont même densité..
Notes et références
Voir aussi Article connexe
Bibliographie
Catégorie:Espace vectoriel normé Mazur-Ulam