En mathématiques, le théorème de différentiation de Fubini est un résultat d'analyse réelle, attribué à Guido Fubini, selon lequel toute série de fonctions croissantes qui converge est presque partout dérivable terme à terme.
Énoncé Si, pour tout entier naturel n,
est une fonction croissante et si
alors, pour presque tout ,
Démonstration On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.
On se ramène sans peine au cas où toutes les sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en ) et où
(en regroupant des termes consécutifs de la série).
La somme des fonctions croissantes définies par
est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :
Cas d'une fonction de saut Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorème. Il s'agit du cas où est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque est de la forme :
si si et
Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que
où désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,
Par conséquent,
Notes et références
Fubini, Differentiation Fubini, Differentiation