En analyse à plusieurs variables, le réarrangement symétrique décroissant d'une fonction f de ℝ dans ℝ est une fonction symétrique décroissante dont les ensembles de sur-niveau sont de même taille que ceux de f.
Définition pour les ensembles Le réarrangement A* d'une partie mesurable A de ℝ est la boule ouverte de ℝ de centre 0 et de volume égal à celui de A. Formellement :
où est le volume de la boule unité et |A| est le volume de A.
Définition pour les fonctions Soit une fonction mesurable positive et, pour tout réel , la fonction indicatrice de son ensemble de sur-niveau , c'est-à-dire de l'ensemble
Le réarrangement de est défini par
Propriétés Pour toute partie mesurable A,En effet, pour toute fonction positive , est symétrique (c'est-à-dire que (x) est fonction uniquement de la norme euclidienne de x) et décroissante (en tant que fonction de cette norme). Les ensembles de sur-niveau de sont les réarrangements de ceux de et ont par conséquent même mesure, c'est-à-dire que pour tout réel , Le réarrangement préserve l'ordre : Si appartient à l'espace L, alors aussi et Le réarrangement fait décroître la distance dans L : si et appartiennent à L, alors Inégalité de Hardy-Littlewood : : si et si appartient à l'espace de Sobolev , alors
Applications L'inégalité de Pólya-Szegő donne, dans le cas limite p = 1, l'inégalité isopérimétrique. En utilisant certaines relations avec les fonctions harmoniques, on peut démontrer l'.
Notes et références
Catégorie:Analyse à plusieurs variables