Certains nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.
Autrement dit, des suites (finies ou infinies) de nombres premiers ayant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers.
Le présent article s'intéresse aux suites de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.
Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers (nombres de Mills).
Nombre premier d'une classe de congruence
Nombre premier de Pythagore
Premier congru à 1 modulo 4.
Entier naturel premier de Gauss
Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers de Gauss, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à 3 modulo 4.
Entier naturel premier d'Eisenstein
Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers d'Eisenstein, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à –1 modulo 3.
Nombre premier lié aux puissances de 2
Nombre de Fermat premier
Premier de la forme , avec entier naturel. On n'en connait que cinq : .
Nombre de Mersenne premier
Premier de la forme .
Voir aussi : Nombre double de Mersenne (seulement quatre premiers connus : ), et Nombre de Catalan-Mersenne (seulement cinq : ).
Nombre premier de Pierpont
Premier de la forme .
Nombre de Proth premier
Premier de la forme , avec .
Nombre de Thebit premier
Premier de la forme .
Nombre premier de Wagstaff
Premier de la forme .
Nombre premier de Wieferich
Premier p tel que p divise 2 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier divise le nombre 2 – 1).
Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont et . On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini.
Nombre de Woodall premier
Premier de la forme .
Nombre de Cullen premier
Premier de la forme .
Nombre premier extrait d'une suite récurrente linéaire
Nombre premier de Fibonacci
Nombre à la fois premier et de Fibonacci.
Nombre premier de Lucas
Nombre à la fois premier et de Lucas.
Nombre de Pell premier Nombre à la fois premier et de Pell.
Nombre de Newman-Shanks-Williams premier Nombre à la fois premier et de Newman-Shanks-Williams.
Nombre de Perrin premier Nombre à la fois premier et de Perrin.
n-uplet de nombres premiers distants d'écarts constants
Couple Les suites suivantes concernent les couples de deux nombres premiers (non nécessairement consécutifs) de la forme , où l'écart est un entier strictement positif.
Écart impair Pour chaque impair, il existe au plus un couple (donc pas du tout ou pas vraiment de suite de couples) de nombres premiers distants d'écart : le couple , si est premier.
Écart pair : nombres premiers jumeaux. : nombres premiers cousins. : nombres premiers sexy. : . : suite . : suite . : suite . : suite . : suite .
n-uplets suivants Triplet de nombres premiers de la forme ou . Quadruplet de nombres premiers de la forme . Quintuplet de nombres premiers de la forme ou Sextuplet de nombres premiers de la forme
Nombre combinatoire premier Nombre de Bell premier
Premier égal au nombre de partitions d'un ensemble fini.
Nombre premier factoriel
Premier de la forme n! ± 1.
Nombre premier primoriel
Premier de la forme pn# ± 1.
Nombre d'Euclide premier
Premier de la forme p# + 1.
Nombre de Motzkin premier
Premier égal au nombre de façons de tracer des cordes non sécantes entre n points d'un cercle.
Bon nombre premier
Premier tel que , où désigne le -ième nombre premier.
Nombre presque carré premier Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme (où, implicitement, et sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour compris entre et , pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers.
L'OEIS contient également des listes pour allant de à (, , , , et ), et de à (, et ).
Exemples : Le seul nombre premier de la forme est , et le seul nombre premier de la forme est . En effet, et sont des carrés parfaits ; on peut donc écrire . Ce produit est un nombre premier si et seulement si : et est premier. Pour , les nombres de Fermat , et même les nombres de Fermat généralisés , sont de la forme . Pour , les nombres de Carol et les nombres de Kynea sont de la forme .
Nombre chanceux premier
Nombre premier de Chen
Premier p tel que p + 2 est premier ou semi-premier (c'est-à-dire le produit de deux nombres premiers).
En 1966, Jingrun Chen a démontré qu'il existe une infinité de tels nombres premiers.
Nombre premier cubain
Premier de la forme (le nom «cubain» vient des cubes), avec entiers, et en particulier égal à ou à .
Nombre premier équilibré
Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.
Nombre fortuné premier
Pour tout entier , le -ième nombre fortuné () est l'entier défini par : est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide .
On conjecture que tout nombre fortuné est premier.
Nombre premier harmonique Pour tout premier le numérateur du -ième nombre harmonique est divisible par au moins pour les trois valeurs Le nombre premier est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.
Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67 (). On conjecture qu'il en existe une infinité.
Nombre premier de Higgs
Premier pour lequel divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs inférieurs.
Nombre premier long
Premier tel que dans une base donnée non divisible par , l'entier soit cyclique.
Nombre de Markov premier
Premier pour lequel il existe des entiers et tels que .
Nombre premier de Pillai
Premier pour lequel il existe un entier tel que divise et ne divise pas .
Nombre premier de Ramanujan
Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre et » est minorée par .
Nombre premier régulier
Nombre premier ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζp). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.
Nombre premier de Sophie Germain
Premier tel que soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.
Nombre premier de Stern
Premier qui n'est pas de la forme avec premier et entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.
Nombre premier supersingulier
Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.
Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.
Nombre premier sûr
Premier tel que soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.
Nombre premier unique
Premier pour lequel la période du développement décimal de est unique (aucun autre premier ne donne la même).
Nombre premier de Wall-Sun-Sun
Premier dont le carré divise . On ignore s'il en existe.
Paire de Wieferich
Une paire de nombres premiers est dite de Wieferich si ≡ et doublement de Wieferich si de plus ≡
Nombre premier de Wilson
Premier p tel que p divise (p – 1)! + 1.
On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson, mais on n'en connaît que trois : 5, 13 et 563 ().
Nombre premier de Wolstenholme
Premier pour lequel le coefficient binomial est congru à 1 mod p.
On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wolstenholme, mais on n'en connaît que deux : et .
Nombre premier extrait d'une constante Nombre premier de Mills
Partie entière de pour un entier n > 0, où θ est la constante de Mills (le plus petit réel pour lequel tous ces entiers sont premiers).
Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constante Premier égal à la partie entière, par défaut ou par excès, d'une puissance entière d'une constante égale à e, π, ou φ.
Nombre premier issu de troncature de constante Premier dont les chiffres sont les premiers chiffres, en base dix, d'une constante mathématique (virgule éventuelle non prise en compte).
Exemples : Constante Symboles usuels Valeur approchée par défaut à 10 près(suite OEIS des chiffres de l'approximation) Nombre n de chiffres de p(suite OEIS de ces nombres) Nombres premiers p obtenus(suite OEIS de ces nombres premiers) Constante d'Apéry ζ(3) 1,202 056 903() 10, 55, …() , …() Constante de Catalan K ou β(2) 0,915 965 594() 52, …() …() Constante de Copeland-Erdős 0,235 711 131() 1, 2, 4, 11, …() 2, 23, , …(les nombres de Smarandache-Wellin premiers forment une sous-suite) Constante de Néper e 2,718 281 828() 1, 3, 7, 85, …() 2, 271, , …() Constante d'Euler-Mascheroni γ 0,577 215 664() 1, 3, 40, …() 5, 577, …(suite non disponible) Constante de Glaisher-Kinkelin A 1,282 427 129() 7, 10, 18, …() , , …() Constante de Golomb-Dickman λ, μ 0,624 329 988() 6, 27, …() , …() Nombre d'or φ 1,618 033 988() 7, 13, …() , …() Constante de Khinchin K 2,685 452 001() 1, 407, …() 2, …(suite non disponible) Constante pi π 3,141 592 653() 1, 2, 6, 38, …() 3, 31, , …() Constante de Pythagore 1,414 213 562() 55, …() …() Constante de Ramanujan-Soldner μ 1,451 369 234() 4, 144, …() , …() Constante de Théodorus 1,732 050 807() 2, 3, 19, …() 17, 173, …()
Curiosités Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix. Nombre premier diédral Premier qui le reste lorsqu'il est observé normalement ou tête en bas, en vue directe ou en réflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre). le groupe de symétrie du rectangle est le groupe diédral D (le groupe de Klein). Ces nombres forment la : 2, 5, 11, 101, 181 Leurs seuls chiffres possibles sont 0, 1, 2, 5, et 8.
Nombre premier palindrome
Nombre à la fois premier et palindrome. Ces nombres forment la : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191
Nombre tétradique premier Un nombre est dit tétradique si c'est un nombre palindrome n'utilisant que les chiffres 0, 1, et 8.
Ceux qui sont premiers forment la (11, 101, 181), dont le plus grand connu, en 2010, était le nombre premier diédral de chiffres mentionné ci-dessus.
Nombre premier permutable
Premier dont toute permutation des chiffres est première, comme 13 ou 113 ou comme le répunit premier 11 (en base dix).
Reimerp
Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés, comme 13 ou 107 (« reimerp » est le mot « premier » épelé à l'envers).
Nombre premier tronquable
Un nombre premier est dit : tronquable à droite s'il reste premier lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés ; tronquable à gauche s'il ne contient pas le et s'il reste premier lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés. Nombres 8-10-premiers-digitaux de Jean-Louis Lascoux
Nombres premiers dont les sommes itératives des chiffres en et 10 sont également premières, jusqu'à aboutir à un terme terminal dans {2, 3, 5, 7}.
Notes et références
Liens externes www.utm.edu « Prime Pages » (listes de nombres premiers)
Catégorie:Nombre premier Premiers
ca:Nombre primer#Classes de nombres primers en:List of prime numbers#Lists of primes by type es:Número primo#Clases de n.C3.BAmeros primos simple:List of prime numbers