Le théorème de Kronecker en théorie des nombres est un résultat d'approximation diophantienne simultanée de N réels. Il généralise (dans une certaine mesure) le théorème d'approximation de Dirichlet.

Énoncé Un énoncé du théorème est le suivant (il en existe d'autres, plus généraux). :

Soient a = (a, … a) un n-uplet de nombres réels et t son image dans le groupe quotient ℝ/ℤ. Le sous-groupe de ℝ/ℤ engendré par cet élément t est dense dans ce groupe topologique si et seulement si les n + 1 réels 1, a, … a sont ℚ-linéairement indépendants.

Le fait que cette condition est nécessaire est immédiat. Qu'elle est suffisante se traduit plus concrètement par :

Le théorème d'approximation de Dirichlet concerne le cas où tous les b sont nuls et garantit alors, sans hypothèse d'indépendance, l'existence d'un tel entier q, avec de plus q minoré par 1 et majoré explicitement en fonction de ε.

Démonstration La démonstration originelle de Leopold Kronecker (Werke III (1), ). est difficile à lire. Kurt Mahler. en a fourni une autre grâce à sa théorie géométrique des nombres. En voici une moins conceptuelle mais extrêmement simpleFournie par GH sur MathOverflow..

Notons ║ ║ la norme « infini » sur ℝ, c'est-à-dire le maximum des valeurs absolues des composantes. Il s'agit de montrer, sous les hypothèses du théorème, qu'il existe un entier q tel que la distance d(qa – b, ℤ) pour cette norme soit inférieure à ε. On raisonne par récurrence sur n (pour n = 0, il n'y a rien à démontrer).

Le théorème de Dirichlet fournit un entier non nul s et un n-uplet p d'entiers tels que le n-uplet a' = sa – p soit de norme inférieure à ε.

D'après l'hypothèse sur a, le réel a' est non nul et les n réels 1, a'/a', … , a'/a' sont ℚ-linéairement indépendants. Par hypothèse de récurrence, il existe donc un entier m tel que le réel vérifie : d(ra' – b, ℤ) < ε/2 pour . Comme de plus d(ra' – b, ℤ) = 0, on a donc d(ra' – b, ℤ) < ε/2.

Soit t l'entier le plus proche du réel r, alors q = ts convient car d(tsa – b, ℤ) = d(ta' – b, ℤ) ≤ ║(t – r)a'║ + d(ra' – b, ℤ) < ε/2 + ε/2 = ε.

Notes et références

Articles connexes

Dualité de Pontryagin

Kronecker Catégorie:Approximation diophantienne