vignette|Long tail. Dans la théorie des probabilités, une loi de probabilité à queue lourde est une loi de probabilité dont les queues ne sont pas exponentiellement bornées, ce qui signifie qu'elles ont des queues plus « lourdes » que la loi exponentielle. Dans de nombreuses applications, c'est la queue droite de la distribution qui est intéressante, mais une distribution peut avoir une queue lourde à gauche, ou les deux queues peuvent être lourdes.

Il y a trois sous-classes importantes de lois à queue lourde, les lois à queue épaisse, les lois à longue queue et les lois sous-exponentielles. Dans la pratique, toutes les lois à queue lourde couramment utilisées appartiennent à la classe sous-exponentielle.

Définitions

Loi à queue lourde

La loi d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F est dite à queue lourde (à droite) si sa fonction génératrice des moments MX(t), est infinie pour tout t > 0., soit:

On peut traduire cette propriété en termes de densité de distribution de queue

comme

Loi à queue longue

La loi d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F est dite à queue longue (à droite) si

ou

On peut le comprendre ainsi : à partir d'un certain niveau, la probabilité qu'une variable aléatoire à queue longue dépasse un niveau supérieur tend vers 1.

Une loi à queue longue est nécessairement à queue lourde, mais la réciproque est fausse : il est possible de construire des lois à queue lourde mais pas longue

Lois sous-exponentielles

La sous-exponentialité est définie en termes de convolution de densités de probabilités. Pour deux variables aléatoires iid de même fonction de répartition , la convolution de avec elle-même, notée , est définie par l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes :

et la convolution d'ordre n est définie par récurrence :

La fonction de répartition de queue est telle que .

Une loi de fonction de répartition est dite sous-exponentielle (à droite) si :

On en déduit:

On peut y voir l'interprétation probabiliste suivante: pour une somme de variables aléatoires iid de loi commune ,

On désigne cette propriété comme le principe du grand saut simple ou principe de la catastrophe

Une loi sur la droite réelle complète est sous-exponentielle si la loi l'est; la fonction est la fonction indicatrice de la demi-droite positive. De façon alternative, une variable aléatoire réelle est sous-exponentielle ssi est sous-exponentielle.

Toutes les lois sous-exponentielles sont à queue longue, mais on peut construire des lois à queue longue mais non sous-exponentielles.

Exemples de lois à queue lourde

Parmi les lois classiques à queue lourde, toutes sont sous-exponentielles.

Dans les lois à queue lourde à droite, on trouve : la loi de Pareto ; la loi log-normale ; la loi de Lévy ; la loi de Weibull avec un paramètre de forme compris entre 0 et 1 ; la loi de Burr ; la loi log-logistique ; la loi log-gamma ; la loi de Fréchet ; la loi q-normale la loi log-Cauchy, parfois décrite comme ayant une "queue super-lourde" car elle montre une croissance logarithmique produisant une queue plus lourde que celle de la loi de Pareto.

Parmi les lois à deux queues lourdes : la loi de Cauchy, elle-même cas particulier de la loi stable et de la loi de Student ; la famille des lois stables, à l'exception de la loi normale, qui est un cas particulier de cette famille. Certaines lois stables sont à une queue, comme la loi de Lévy. la loi de Student. la loi cascade log-normale asymétrique.

Relation aux lois à queue épaisse Une est une loi pour laquelle la densité de probabilités, pour de grandes valeurs de x, décroit en . Puisqu'une fonction puissance est toujours bornée par une fonction exponentielle, les lois à queue épaisse sont toujours à queue lourde. Certaines lois, cependant, ont une queue qui décroit vers 0 plus lentement que la fonction exponentielle (dont sont à queue lourde), mais plus rapidement qu'une fonction puissance (donc pas à queue épaisse).

Références

Catégorie:Étude des lois de probabilité Catégorie:Statistiques