En mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable. Cette condition est un affaiblissement de la quasi-compacité, dans laquelle on demande l'existence de sous-recouvrements finis. Un espace est dit héréditairement de Lindelöf si tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. Il suffit pour cela que ses ouverts le soient.
Les espaces de Lindelöf sont nommés d'après le mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf.
Propriétés Un espace est quasi-compact si et seulement s'il est de Lindelöf et dénombrablement compact. Tout espace pseudométrisable de Lindelöf est séparable ( Propriétés des espaces séparables) donc à base dénombrable ( Lien entre ces deux notions). Pour qu'un espace X soit de Lindelöf, il suffit que tout recouvrement de X par des ouverts d'une base fixée possède un sous-recouvrement dénombrable (la démonstration est la même que l'analogue pour les quasicompacts, en remplaçant « fini » par « dénombrable »). Cela rend immédiat le résultat suivant : Lemme de Lindelöf — Tout espace à base dénombrable est de LindelöfPar exemple, tout ouvert de ℝ (muni de la topologie usuelle) est réunion dénombrable d'intervalles ouverts.. La réciproque est fausse en général. Par exemple, la droite de Sorgenfrey S est de Lindelöf (et de plus, séparable et à bases dénombrables de voisinages) mais n'est pas à base dénombrable. Cependant, d'après ce qui précède, pour un espace pseudométrisable, les trois propriétés Lindelöf/séparable/à base dénombrable sont équivalentes. Tout fermé d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf, chap. I, , exercice 15. (la démonstration est analogue à celle de la compacité de tout fermé d'un compact). Toute image continue d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf. Tout espace réunion dénombrable de sous-espaces de Lindelöf (en particulier tout espace dénombrable) est de Lindelöf.
En général, on n'a aucune implication (dans un sens ou dans l'autre) entre la propriété de Lindelöf et les autres propriétés de compacité. Cependant : tout espace σ-compact est clairement de Lindelöf (cas particulier de la propriété précédente) ; d'après un théorème de Morita, tout espace régulier de Lindelöf est paracompact (et a fortiori, normalCe théorème est souvent cité sous la forme « tout espace de Lindelöf est normal » mais l'hypothèse de régularité, bien qu'implicite, est indispensable : « When is a Lindelof Space Normal? » sur Dan Ma's Topology Blog ou , et , deux topologies sur ℕ*, séparées, de Lindelöf et non normales, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier). donc complètement régulier) ; dans le cas non séparé, on montre directement, que tout espace de Lindelöf T est T donc uniformisable. Tout espace de Lindelöf est un (ou, ce qui est équivalent : un fermé d'une puissance — éventuellement infinie — de ℝ).
Espaces fortement de Lindelöf Si ω désigne le premier ordinal non dénombrable, l'ouvert [0, ω[ du compact [0, ω] n'est pas de Lindelöf.
Un espace est dit fortement de Lindelöf si tous ses ouverts sont de Lindelöf. Tout espace fortement de Lindelöf est héréditairement de Lindelöf, c'est-à-dire que tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. (Il suffit, pour le vérifier, d'écrire que tout recouvrement ouvert d'une partie Y de X est de la forme (Y ⋂O) où les O sont des ouverts de X et que leur réunion O est alors un ouvert contenant Y et recouvert par les O.) Tout espace à base dénombrable est fortement Lindelöf (puisque ses sous-espaces sont à base dénombrable). Tout espace souslinien est fortement de Lindelöf. La propriété d'être fortement de Lindelöf est préservée par réunions dénombrables, sous-espaces et images continues. Toute mesure de Radon sur un espace fortement Lindelöf est modérée, c'est-à-dire que sa mesure extérieurement régulière associée est σ-finie.
Produit d'espaces de Lindelöf
Un produit d'espaces de Lindelöf n'est pas toujours de Lindelöf. Le contre-exemple classique est le plan de Sorgenfrey S×S, produit de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Dans le plan S×S, l'antidiagonale D (la droite d'équation y = – x) est un sous-espace discret donc n'est pas de Lindelöf (puisque D n'est pas dénombrable). Or D est un fermé de S×S, qui n'est par conséquent pas de Lindelöf non plus.
Cependant, le produit d'un espace de Lindelöf par un espace quasi-compact est de Lindelöf.
Généralisation
Un espace est dit κ-compact (ou κ-Lindelöf), pour un cardinal κ donné, si tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement de cardinalité strictement inférieure à κ. Les espaces quasi-compacts sont donc les ℵ-compacts et les espaces de Lindelöf sont les ℵ-compacts.
À tout espace X on associe son degré de Lindelöf, ou nombre de Lindelöf, noté L(X) et son degré héréditaire de Lindelof, noté hL(X) : L(X) est le plus petit cardinal infini κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinalité inférieure ou égale à κ ethL(X) est la borne supérieure des L(Y) pour toutes les parties Y de X.Avec cette notation, X est de Lindelöf si et seulement si mais la donnée de L(X) ne suffit pas à distinguer si X est quasi-compact ou seulement de Lindelöf. C'est pourquoi, bien que moins couramment, certains auteurs donnent le nom de nombre de Lindelöf de X (ou parfois ) à une notion différente : le plus petit cardinal infini κ tel que X soit κ-compact.
Le cardinal d'un espace séparé X est bornéPour plus de détails, voir par exemple . en fonction de son degré de Lindelöf L(X) et de son caractère (X) : |X| ≤ 2. Par exemple, tout espace de Lindelöf séparé (en particulier tout espace compact) à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.
Il est aussi borné en fonction de son degré héréditaire de Lindelöf : |X| ≤ 2.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Fonctions cardinales d'un espace topologique Lien externe
Catégorie:Compacité Lindelof