Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit ou rep-unit est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. C'est donc un cas particulier de nombre uniforme.
Ce terme est la francisation de l'anglais , contraction de l'expression (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler..
En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique. », « multi-as. », « répun. » ou encore « nombre de Mersenne généralisé » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.
Définition Les répunits en base dix sont définis, pour tout , par : .
Plus généralement, ils sont définis en base entière , pour tout , par : . Ainsi, le nombre s'écrit en base comme la suite de chiffres : .
Il est également possible de définir les répunits de base par récurrence avec et .
Histoire Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base dix ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du Ont notamment contribué à ces recherches les mathématiciens Jean Bernoulli, Leonhard Euler, Edouard Lucas et Allan Cunningham., dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique, vol. 1, 1999, ..
Il est démontré très tôt que, pour tout nombre premier supérieur ou égal à 7, la longueur de la période du développement décimal de est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par En effet, si est premier différent de 2 et 5, la longueur de la période de est l'ordre multiplicatif de 10 dans Z/pZ soit le plus petit tel que divise ; si de plus est différent de 3, c'est bien le plus petit tel que divise .. Des tables de la période des inverses des nombres premiers jusqu'à sont publiées dans les années1870 par le mathématicien britannique William Shanks : elles permettent la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R16. En 1880, les nombres de R17 à R36 sont factorisés. Bien qu'Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions ne possède une période égale à dix-neuf, aucune tentative en vue de tester ceci n'a lieu avant le début du . Le mathématicien américain Oscar Hoppe prouve en 1916 que R19 est premier.. Lehmer et Kraïtchik prouvent indépendamment la primalité de R23 en 1929.
Aucune autre avancée majeure dans l'étude des répunits n'a lieu jusque dans les années 1960, où les ordinateurs permettent à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham documente entre autres les factorisations de répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.
Quelques propriétés et exemples
Propriétés générales En toute base entière, les premiers répunits s'écrivent , etc. () Les répunits sont un cas particulier des nombres uniformes, c'est à dire des nombres écrits, dans une base , comme une suite de chiffres tous identiques. Les nombres uniformes non répunits sont chacun multiple d'un répunit de même longueur. Par exemple, en base dix : Les répunits en base forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : pour . Cette caractéristique entraîne plusieurs propriétés: P1 : la suite des répunits en base suit la propriété de divisibilité forte pour leurs PGCDMais pour un raisonnement direct, voir par exemple le devoir sur Wikiversité (lien en bas de page). : ; P2 : est divisible par si et seulement si est divisible par , propriété conséquence de la précédente ; Conséquence de cette propriété : tout nombre pouvant s'écrire en une base quelconque comme une suite constituée d'un nombre composé de chiffres 1 est un nombre composé. En effet si s'écrit en base comme une suite de ( et ) chiffres 1, alors est divisible par , ainsi que par , donc est composé. P3 : si est premier, alors est nécessairement premierAttention, la réciproque n'est pas vraie. Par exemple, en base , est premier mais est composé., propriété conséquence de la précédente. Si et sont premiers entre eux, alors au moins l'un des répunits est un multiple de (propriété P4).
Exemples pour : ; ; ; ; . Un entier divise au moins un répunit de base si et seulement si et sont premiers entre eux.
Exemple : aucun répunit de base dix n'est divisible par un nombre pair ou un nombre multiple de cinq, mais tout nombre impair non multiple de cinq divise au moins un répunit de base dix. Un répunit en base est divisible par si et seulement si son écriture en base comporte un nombre pair de chiffres 1. S'il s'écrit avec un nombre impair de chiffres 1, le reste de sa division par est .
Écrits en base , les carrés des nombres répunits pour sont des nombres palindromes et même des nombres merveilleux de Demlo.
Exemples : les carrés des neuf premiers répunits en base dix sont :, et comme , on sait, sans calculer, que . Et on vérifie aisément que . inversement on sait, sans calculer, que le nombre s'écrivant dans une base est le carré du nombre s'écrivant, dans cette même base, .
Propriétés des répunits dans certaines bases Les répunits de base deux (ou répunits binaires) sont les nombres de Mersenne. Un nombre de Mersenne est défini par , soit, écrit en base deux : .
Aucun répunit en base dix n'est un nombre triangulaire, sauf 1. Tous les répunits en base neuf sont des nombres triangulaires car avec .
Équations diophantiennes faisant intervenir des répunits
L'étude des répunits est liée à celle de certaines équations diophantiennes.
Équation diophantienne
Aucun répunit en base 10 (excepté ) n'est la puissance parfaite d'un entier. Cette propriété a été démontrée par les mathématiciens Yann Bugeaud et Maurice Mignotte en 1999. Une démonstration simple du fait qu'aucun répunit en base dix (sauf ) n'est un carré parfait est donnée ci-dessous.
Dans d'autres bases, on connait trois répunits qui sont des puissances parfaites : que l'on conjecture être les seuls, mais en 2007, on n'avait que des résultats partiels à ce sujet.
Équation diophantienne
Tout répunit est, par définition, de la forme , ou, de façon équivalente pour , de la forme . Donc se demander s'il existe une (ou plusieurs) base(s) telle(s) qu'un entier y soit répunit revient à étudier l'existence d'un (ou plusieurs) couple(s) d'entiers solution(s) de l'équation diophantienne .
Cette équation a une solution triviale pour tout entier : et . En effet tout entier s'écrit en base , car .
Avec ce résultat, on démontre aisément que est la plus grande base dans laquelle un entier est un répunit et qu'en outre, si est également un répunit dans une base autre que , alors le nombre de chiffres 1 nécessaire pour l'écrire dans cette base est tel que : .
Ceci a amené plusieurs mathématiciens à questionner l'existence de nombres qui seraient répunits dans plusieurs bases autres que celle où ils le sont trivialement.
En 1917, le mathématicien belge René Goormaghtigh, cherchant des quadruplets d'entiers solutions de l'équation avec , et , met en évidence deux solutions : qui donne et qui donne . Il émet ensuite la conjecture que ces deux quadruplets sont les seules solutions de l'équation étudiée. En 2025, cette conjecture reste ouverte, même si les travaux menés depuis semblent indiquer qu'elle devrait être vraie.
Décomposition des répunits décimaux Les facteurs premiers colorés en sont des "nouveaux facteurs", divisant mais ne divisant pas pour tout ; Pour plus d'informations, voir ., et dont le développement décimal de l'inverse est donc de période . R1 =1R2 =R3 = · R4 =11 · R5 = · R6 =3 · · 11 · · 37R7 = · R8 =11 · · 101 · R9 = 32 · 37 · R10 = 11 · 41 · 271 · R11 = · R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · R13 = · · R14 =11 · 239 · 4649 · R15 =3 · · 37 · 41 · 271 · R16 =11 · · 73 · 101 · 137 · R17 = · R18 =32 · 7 · 11 · 13 · · 37 · · 333667R19 =R20 =11 · 41 · 101 · 271 · · 9091 · R21 = 3 · 37 · · 239 · · 4649 · R22 =112 · · · · 21649 · 513239R23 =R24 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · R25 =41 · 271 · · · R26 =11 · 53 · 79 · · 265371653 · R27 =33 · 37 · · 333667 · R28 =11 · · 101 · 239 · · 4649 · 909091 · R29 = · · · · R30 =3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · · · 271 · · 9091 · 2906161 On remarque qu'il n'y a que trois répunits premiers dans les trente premiers répunits : R2, R19 et R23. On peut également remarquer que la décomposition en facteurs premiers des répunits de base 10 fait apparaître des nombres premiers constitués exclusivement des chiffres 0, 1 et 9, comme 9091 dans R10, 9901 dans R12, 909091 dans R14, etc.
Répunits premiers Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2., 3, 5, 6, 7, 10.., 11 et 12.
D'après la propriété P3 ci-dessus, n'est premier que si est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple : en base dix, 3 est premier mais est composéExplications complémentaires dans Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell..
Cependant, est premier. est également premier pour égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la Cette suite est constituée d'entiers tels que le nombre est premier. Or, en base , ce nombre s'écrit . Donc est premier si et seulement si est premier. ; l'écriture en base dix de est .
Heuristiquement, les répunits premiers sont assez rares. En effet, d'après le théorème des nombres premiers, la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres. Cette heuristique donne comme probabilité que le -ième nombre répunit dans une base fixée soit premier. On conjecture cependant qu'il en existe une infinité..
En base dix, on sait que est premier pour onze valeurs de : 2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (). D'après cette entrée de l'OEIS, en 2023 seuls les sept premiers sont réellement prouvés comme étant premiers, les 4 suivants seulement comme nombres premiers probables..
La liste des nombres premiers qui sont des répunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme .
Tout répunit premier est trivialement un nombre premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base dix, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais il n'est pas démontré qu'il s'agit des seuls.
Concernant le prédécesseur d'un répunit d’indice premier, on peut noter que, d'après le petit théorème de Fermat, pour premier non diviseur de : divise ; par exemple, est multiple de 7. Honneur L'astéroïde porte le nom de ces nombres(11111) Repunit = 1997 EC35 = 1995 WL, Centre des planètes mineures, consulté le ..
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Conjecture de Feit-Thompson Reimerp Nombre de Demlo
Bibliographie .
Liens externes
Les nombres brésiliens, s'écrivant avec des chiffres tous égaux, dans Quadrature 76
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