La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.
Définitions Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de compositionDéfinition conforme à , ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39, ou encore à , ou encore à S. Lang, Algèbre, révisée, Paris, 2004, p. 19. de G toute suite finie (G, G, …, G) de sous-groupes de G telle queet que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G soit sous-groupe normal de G.Les quotients G/G sont appelés les quotients de la suiteDéfinition conforme à , ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39-40.. Soient Σ = (G, G, …, G) et Σ = (H, H, …, H) deux suites de composition de G. On dit que Σ est un raffinementDénomination conforme à . de Σ, ou encore que Σ est plus fineDénomination conforme à . que Σ, si Σ est extraite de Σ, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G = H pour tout Σ et Σ sont équivalentes, dit « isomorphic ». si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G/G soit isomorphe au quotient H/H. Soit Σ = (G, G, …, G) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G est un sous-groupe distingué maximalNe pas confondre avec la notion de sous-groupe maximal d'un groupe. de G (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G).On appelle suite de Jordan-HölderDéfinition conforme à , ch. I, § 4, n° 7, déf. 10, p. 41. une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).
Remarque : les auteurs de langue anglaiseVoir par exemple . appellent ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.
Quelques faits
Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple. S ⊃ A ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder. Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents. On en déduitVoir par exemple . que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder. Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe abélien infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder. Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder.. Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.
Généralisation aux groupes à opérateurs Soient G un groupe à opérateurs et e son élément neutre. On appelle suite de compositionDéfinition conforme à . de G toute suite finie (G, G, …, G) de sous-groupes stables de G telle queet que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G soit sous-groupe normal de G.Les quotients G/G sont appelés les quotients de la suite.
Une suite principale d'un groupe peut être considérée comme une suite de Jordan-Hölder d'un certain groupe à opérateurs.
Notes et références
Voir aussi
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