En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques suivantes, th. 362 et 363., qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :

Histoire Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers en 1894., puis trouvées (mais sans démonstration) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913Il les a communiquées à Percy Alexander MacMahon qui les a incluses dans son livre Combinatory Analysis, Cambridge University Press, Vol. 2, 1916, sans démonstration.. Ramanujan a découvert l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié en commun une nouvelle preuve.. Issai Schur a lui aussi découvert ces identités et les a démontrées (indépendamment) en 1917..

Définition En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

() et

().

Symboles de Pochhammer Les symboles de Pochhammer qui interviennent sont :

Interprétations combinatoires Pour la première identité (), le membre de gauche peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de droite est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9), th. 364...

Pour la seconde () :

est la série génératrice des partitions en n parts telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2. est la série génératrice des partitions telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Le nombre de partitions de n telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2 est égal au nombre de partitions de n telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Notes et références

Voir aussi Bibliographie

Articles connexes Fraction continue de Rogers-Ramanujan Identité du produit quintuple

Théorème des nombres pentagonaux Triple produit de Jacobi

Lien externe

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