En théorie des anneaux, une branche des mathématiques, le théorème de Skolem–Noether caractérise les automorphismes des anneaux simples. C'est un résultat fondamental de la théorie des algèbres centrales simples.
Le théorème a été d'abord publié par Thoralf Skolem en 1927 dans son article Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (allemand : Sur la théorie des systèmes de nombres associatifs) et redécouvert indépendamment par Emmy Noether.
Énoncé Dans sa formulation générale, soient A et B des anneaux simples et soit k le centre de B. Remarquons que k est un corps puisque, pour x élément non nul de k, la simplicité de B entraîne que l'idéal bilatère Bx, qui n'est pas réduit à {0}, est B tout entier, si bien que x est une unité. Supposons de plus que la dimension de B sur k est finie, c'est-à-dire que B est une algèbre centrale simple. Alors, étant donné deux morphismes de k-algèbres
f, g : A → B,
il existe une unité b dans B telle que pour tout a dans A
g(a) = b · f(a) · b−1.
En particulier, tout automorphisme d'une k-algèbre centrale simple est intérieur.
Preuve Supposons d'abord que . Alors, f et g définissent des actions de A sur ; soit les A-modules ainsi obtenus. Puisqu'ils ont la même dimension, il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels . Mais un tel b est nécessairement un élément de . Pour le cas général, remarquons que est une algèbre de matrices et donc, par la première partie de la preuve, cette algèbre contient un élément b tel que
pour tous et . En prenant , on trouve
pour tout z. En d'autres termes, b appartient à et l'on peut donc écrire . En prenant cette fois , on trouve , comme on le souhaitait.
Notes
Références
Présentation du théorème dans
Catégorie:Théorie des anneaux Skolem-Noether Catégorie:Emmy Noether