En mécanique des milieux continus, une particule matérielle. (.) est une petite portion d'un corps, de matière solide ou fluide, constituée d'un nombre suffisamment grand de particules dites élémentairesIl ne s'agit pas ici nécessairement de particules élémentaires au sens de la physique des particules, c'est-à-dire de constituants des atomes.. C'est une portion de matière suffisamment petite (par rapport aux dimensions caractéristiques : taille d'un objet, diamètre d'un tuyau) pour pouvoir être considérée comme ponctuelle, mais suffisamment grande pour pouvoir en définir statistiquement les grandeurs physiques intensives (masse volumique, pression, température, potentiel chimique).

Dans la , une grandeur physique caractérise, en un point , les particules élémentaires situées dans un espace contenant le point . Une grandeur physique doit donc caractériser une particule matérielle pour être une fonction continue des coordonnées du point, en un point situé à l'intérieur de cette particule.

« Particule matérielle » a pour synonymes « petit élément »Maurice Roy, Mécanique : Corps rigides, t. II : Milieux continus, , Dunod, 1965 , 4., « élément de volume macroscopique »Jean Mandel, Cours de mécanique des milieux continus, t. I, Gauthier-Villars, 1966, 1., « élément de volume représentatif »Jean Lemaitre et Jean-Louis Chaboche, Mécanique des matériaux solides, Dunod, 1985, 72., « particule macroscopique »Jean Coirier, Mécanique des milieux continus, Dunod, 1997, 5. et « volume élémentaire représentatif »Alain Thionnet, Christiane Martin, Mécanique et comportement des milieux continus, Ellipses, 2003, 7..

Une particule matérielle contenant de la matière fluide peut être qualifiée de particule fluideEdmond A. Brun, André, Martinot-Lagarde et Jean Mathieu, Mécanique des fluides, Éd. Dunod, 1997, 14.Patrick Chassaing, Mécanique des fluides, Cépaduès-Éditions, 1997, 5.Jean Cousteix . Voir le chapitre « Courtes citations ». ou de parcelle fluideMarcel Lesieur, La turbulence, Presses universitaires de Grenoble, 1994, 29..

Les valeurs d'une grandeur physique caractérisant des particules matérielles qui contiennent un même point d'un corps sont toutes identiques : dans la figure 1.4, les particules matérielles et contiennent un même point . Cela signifie que ce point ne doit pas être situé sur une surface de discontinuité. La masse volumique ne peut pas être définie en des points situés sur une telle surface.

vignette|upright=1.9|alt=|Fig. 2 : Champ de pression instationnaire dans un ventilateur.

D'une manière générale, les phénomènes physiques doivent être caractérisés grâce à des grandeurs physiques dont les valeurs varient d'un point à l'autre, à l'intérieur d'un corps et d'un instant à l'autre, en tous les points du corps (figure 2). Dans ce cas, le nombre suffisamment grand de particules élémentaires contenu par une particule matérielle ne doit pas être trop grand. Les grandeurs physiques relatives à une particule matérielle doivent dépendre le moins possible de la position que la particule occupe par rapport à un point qu'elle contient. Ainsi, les grandeurs physiques seront définies, en chaque point d'un corps, avec le maximum de précision. C'est pourquoi la particule matérielle devra être suffisamment petite à l'échelle du corps qui la contient.

Une grandeur physique doit être liée à des phénomènes physiques qui se produisent dans une particule matérielle afin que cette grandeur physique puisse être définie en un point contenu par cette particule. Dans ces conditions, une grandeur physique moyenne peut être assimilée à une grandeur physique ponctuelle à l'échelle d'un corps.

Ainsi, un champ d'une grandeur physique dans un corps peut être reconstitué (figure 2). En un point d'un corps, à une valeur d'une grandeur physique ponctuelle, à l'échelle de ce corps, correspond donc une valeur d'une grandeur physique moyenne relative à une particule matérielle contenant ce point.

En outre, une grandeur physique moyenne (grandeur physique mesurée, grandeur thermodynamique) peut être comparée à une grandeur physique ponctuelle, solution des équations physiques des milieux continus.

Les relations liant entre elles les grandeurs thermodynamiques pourront contribuer à la résolution de ces équations.

Mathématiques, thermodynamique et mesure

Les phénomènes physiques se produisant à l'intérieur d'un corps de matière solide ou fluide peuvent être produits mathématiquement à l'intérieur d'un domaine continu de points auquel le corps peut être assimilé. Ce domaine occupe la totalité de l'espace limité par la frontière extérieure du corps.

Une grandeur physique relative à une particule matérielle est une grandeur physique moyenne que l'on peut attribuer à un point que la particule contient. Cette grandeur est, en ce point, une grandeur physique ponctuelle à l'échelle du corps. Elle peut être une grandeur mesurée et/ou une grandeur thermodynamique. À cette grandeur physique ponctuelle, à l'échelle du corps, correspond une grandeur physique ponctuelle d'un point de vue mathématique. Cette dernière grandeur caractérise les phénomènes physiques produits mathématiquement en un point que la particule contient. En chacun des points d'un domaine continu de points géométriques, les valeurs, prises par cette vraie grandeur physique ponctuelle, sont des solutions d'équations mathématiques représentant un modèle mathématique du corps de matière solide ou fluide. Une grandeur physique ponctuelle est, en un point d'un domaine, relative à une portion infiniment petite qui, située à l'intérieur de ce domaine, contient ce point (parcelle infinitésimale). Il s'agit aussi d'une grandeur attribuée à chaque point d'un domaine continu de points géométriques.

Une grandeur physique ponctuelle doit donc être définie en chaque point d'un domaine et à chaque instant . C'est donc une fonction continue des coordonnées , et du point et du temps :

.

Cela signifie que les valeurs de la fonction , relatives à toutes les parcelles infinitésimales pouvant contenir un même point géométrique , sont, à chaque instant, toutes identiques (figure 1.4).

Masse volumique physique

La masse volumique est une grandeur physique mesurable (masse volumique physique). Elle est facilement perceptible par les organes des sens et par l'esprit : un décimètre cube d'eau est un étalon de masse volumique représentant matériellement un kilogramme par décimètre cube (voir Masse volumique). Qu'elle soit celle d'un corps de matière solide ou fluide ou d'une parcelle de ce corps, la masse volumique physique a la même signification physique.

La masse volumique d'une parcelle d'un corps de matière solide ou fluide est égale au quotient de la masse de cette parcelle sur le volume qu'elle occupe :

.

Un corps de matière solide ou fluide est un domaine discontinu de particules élémentaires. C'est pourquoi, comme nous le verrons, la masse volumique de n'importe quelle parcelle d'un corps ne pourra pas être, à la fois, une fonction continue en tout point d'un corps et une grandeur physique ponctuelle, d'un point de vue mathématique. En effet, la masse volumique d'une parcelle d'un corps ne sera une fonction continue en tout point d'un corps que si cette parcelle contient un nombre suffisamment grand de particules élémentaires. Cette parcelle devra être, tout de même, suffisamment petite afin que sa masse volumique soit, à l'échelle du corps, suffisamment ponctuelle : c'est la description d'une particule matérielle. La masse volumique d'une particule matérielle n'est donc pas une grandeur ponctuelle d'un point de vue mathématique : elle l'est seulement à l'échelle d'un corps. Les masses volumiques de toutes les particules matérielles contenant un même point ont toutes la même valeur, sauf en des points qui seraient situés sur des surfaces de discontinuité.

Caractérisons, maintenant, une particule matérielle.

Exemple simple de domaine discontinu

Imaginons un corps ayant la forme d'un parallélépipédique rectangle (figure 3.1) qui, afin de simplifier les calculs, est constitué déléments de masse de formes cubiques (figure 3.2). Ces éléments de masse sont tous identiques. Ils sont immobiles par rapport au corps et régulièrement espacés entre eux (figure 3.3).

Un élément de masse quelconque est désigné par . La masse d'un élément de masse et la masse volumique de celui-ci sont respectivement désignées par et par . Selon la dimension d'une parcelle du corps , nous pouvons envisager plusieurs cas.

Cas 1 : Considérons une parcelle dont le volume est plus petit que celui d'un élément de masse (figure 4.1). La parcelle contient un point situé sur la frontière d'un élément de masse . Par rapport à lélément de masse, déplaçons la parcelle , perpendiculairement à l'une des faces de cet élément, tout en conservant le point dans la parcelle (figures 4.2).

La masse de la parcelle dépend de la position qu'elle occupe de part et d'autre de cette frontière. Le volume de la parcelle ne change pas. La masse volumique de la parcelle dépend donc de cette position (figure 5).

vignette|upright=1.|alt=|Fig. 5 : Masse volumique de la parcelle P1 selon sa position sur X.

Le graphe montrant l'évolution de la masse volumique de la parcelle en fonction de la position de cette parcelle est un graphe continu (figure 5). La masse volumique de la parcelle n'est pas pour autant une fonction continue : la valeur de cette fonction ne peut pas être définie au point P. En effet, la masse volumique de la parcelle contenant le point P dépend de la position que celle-ci occupe. La masse volumique au point ne pourra pas être déterminée à partir de la masse volumique d'une parcelle contenant le point . Si une parcelle contient un point et que, dans aucune de ses positions, elle ne peut contenir un point situé sur la frontière d'un élément de masse, alors la masse volumique pourra être définie en ce point : elle sera égale à zéro si le point est situé à l'extérieur de cet élément (figure 4.3) et égale à si le point est situé dans un élément de masse (figure 4.4).

La masse volumique d'une parcelle n'est pas une fonction continue en tous les points situés à la surface d'un élément de masse. La masse volumique d'une parcelle n'est pas une fonction continue en de trop nombreux points du corps : elle ne pourra donc pas avoir un usage théorique en mécanique des fluides et en résistance des matériaux.

Cas 2 : Considérons, maintenant, une parcelle de volume . Elle contient éléments de masse du corps ( sur la figure 6.1). Désignons par un point géométrique que la parcelle contient. Puisque la masse de est à égale à , la masse volumique de est égale à :

.

Considérons une autre parcelle, une parcelle , contenant la parcelle : son volume est donc plus grand que le volume de la parcelle (). La parcelle contient donc aussi le point .

A priori, du fait de l'espacement des éléments de masse, les valeurs des masses volumiques et ne peuvent pas être égales.

vignette|Fig. 7 : Masse volumique d'une parcelle de matière selon son volume : .

Afin d'examiner cela, appelons la portion de l'espace que la particule occupe mais que n'occupe pas la particule :

1. Si la portion est vide. Les deux parcelles et contiennent les mêmes éléments de masse. Les masses et de ces deux parcelles sont égales. Puisque le volume est plus grand que le volume , la masse volumique sera donc plus petite que la masse volumique :

.

2. Si la portion contient un ou plusieurs éléments de masse. Les valeurs des masses volumiques et sont aussi, dans ce cas, différentes l'une de l'autre. La masse volumique d'une parcelle contenant un point du corps dépend du volume que la parcelle occupe. C'est ce que montre le graphe de la figure 7. Celui a été obtenu par calcul Lézé-Lerond Fabrice, Fascicule Masse volumique, tableau Domaine discontinu ; lire Fascicules de Physique..