En analyse fonctionnelle (mathématique), le lemme de Mazur — ou théorème de Mazur, . — assure que dans un espace vectoriel normé, toute limite faible d'une suite (x) est limite forte (c'est-à-dire en norme) d'une suite de combinaisons convexes des vecteurs x. Cette propriété est utilisée en calcul des variations, par exemple pour démontrer le ...
Énoncé Dans un espace vectoriel normé X, soit une suite convergeant faiblement vers un vecteur de X, c'est-à-dire que pour toute forme linéaire continue sur X,
Alors il existe une suite à valeurs dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des valeurs de la suite , et même, ne mentionne pas cette légère amélioration dans l'énoncé du lemme de Mazur. non plus, mais il la propose en exercice . telle que pour tout entier , le terme soit de la forme
qui converge en norme vers , c'est-à-dire telle que
Démonstration On. utilise les trois résultats suivants, valables dans tout espace vectoriel topologique localement convexe métrisable, en particulier dans un espace vectoriel normé : l'adhérence de tout convexe est convexe ; tout convexe fermé est faiblement fermé ; tout point adhérent à une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.
Pour tout entier , soit l'enveloppe convexe de l'ensemble des pour . Son adhérence est convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien que contient l'adhérence faible de , qui elle-même contient par hypothèse. D'après le point 3, il existe donc tel que .
Notes et références
Catégorie:Espace vectoriel normé Mazur Mazur