En mathématiques, un ordre au sens de la théorie des anneaux est un sous-anneau O d'un anneau A tel que l'anneau A est une algèbre de dimension finie sur le corps ℚ des nombres rationnels, O engendre A sur ℚ, si bien que ℚO = A et O est un ℤ- dans A (c'est-à-dire un ℤ-sous-module de type fini sans torsion).

Les deux dernières conditions signifient qu'additivement, O est un groupe abélien libre engendré par une base du ℚ-espace vectoriel A.

Plus généralement, si A est une algèbre sur un corps K et R un anneau inclus dans K, un R-ordre de A est un sous-anneau de A qui est un R-réseau plein (c'est-à-dire qui vérifie les conditions 2 et 3 avec ℤ et ℚ remplacés respectivement par R et K), Zbl 1024.16008.

Exemples

Voici quelques exemples de R-ordres d'une algèbre A : M(R), si A est l'anneau de matrices M(K) ; la fermeture intégrale de R dans A, si A est une extension finie séparable de K ; R[a], si A est l'algèbre K[a], pour un élément a de A entier sur R ; l'algèbre de groupe R[G], si A est l'algèbre K[G] d'un groupe fini G. Lorsque l'algèbre A n'est pas commutative, la notion d'ordre reste importante mais les phénomènes sont différents. Par exemple, quaternions de Hurwitz, qui est un ordre maximal dans l'algèbre ℚ[ℍ] des quaternions à coordonnées rationnelles, contient strictement l'anneau ℤ[ℍ] des quaternions à coordonnées entières. Il existe en général des ordres maximaux mais pas un ordre maximum.

Une propriété fondamentale est que tout élément d'un R-ordre est entier sur R. Lorsque la fermeture intégrale S de R dans A est un R-ordre, il en résulte que S est le R-ordre maximum de A. Mais ce n'est pas toujours le cas : S peut ne pas être un anneau, et même s'il en est un (ce qui est le cas si A est commutative) il peut ne pas être un R-réseau.

Théorie algébrique des nombres L'exemple-prototype, issu de la théorie algébrique des nombres avec Dedekind, est celui où A est un corps de nombres K et O est l'anneau O de ses entiers. Cet ordre est maximum mais contient des sous-ordres si K contient strictement ℚ. Par exemple si K est le corps ℚ() des rationnels de Gauss, O est l'anneau ℤ[] des entiers de Gauss et contient entre autres le sous-ordre ℤ + ℤ, Zbl 0685.12001.

À tout réseau (plein) M dans K on associe l'ordre { k ∈ K | kM ⊂ M }. Deux réseaux dans K sont dits équivalents s'ils sont transformés l'un de l'autre par une homothétie de rapport appartenant à K (ou à ℚ pour l'équivalence stricte). Tout ordre est l'ordre d'un réseau (lui-même) et deux réseaux équivalents ont même ordre.

La question des ordres maximaux peut être examinée au niveau des corps locaux. Cette technique est appliquée en théorie algébrique des nombres et en .

Notes et références

Catégorie:Théorie des anneaux Catégorie:Théorie algébrique des nombres