Univers constructible

En mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté , est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples. Elle a été introduite en 1938 par Kurt Gödel dans son article sur .. Il y montrait que cette classe est un de la théorie ZF et que l'axiome du choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans ce modèle. Ceci prouve que ces deux propositions sont cohérentes avec les axiomes de ZF, à condition que ZF soit déjà cohérente. De nombreux autres théorèmes (comme les résultats d’existence dépendant du lemme de Zorn) n'étant applicables que si on admet l’axiome du choix, sa cohérence est un résultat important.

Définition

L'univers constructible de Gödel peut être construit par étapes, de manière similaire à la construction de l'univers de von Neumann, . Les étapes sont indexées par des nombres ordinaux. Alors que dans l'univers de von Neumann, l'étape d'un successeur est l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'étape Vα précédente, dans l'univers constructible de Gödel cet ensemble est l'ensemble des sous-ensembles qui sont définissables par une formule qui respecte les contraintes suivantes : doit être une formule du langage formel de la théorie des ensembles ; ne doit être paramétrée que par des ensembles de l'étape précédente ; les variables quantifiées doivent prendre leur domaine dans l'étape précédente.

En construisant une étape uniquement à partir de ce qui a été construit aux étapes précédentes, on s'assure que l'ensemble qui en résulte soit indépendant des particularités du modèle de théorie des ensembles qui sert de base, et soit inclus dans n'importe lequel des modèles de cette théorie.

Définition formelle

Soit

Alors, par les règles de récurrence transfinie, on définit :

Si est un ordinal limite, alors

L'univers L est alors défini comme l'union de tous les Lα :

Si z appartient à Lα, alors z = {y | y ∈ Lα et y ∈ z} ∈ (Lα) = Lα+1. Par conséquent Lα est inclus dans Lα+1, qui est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de Lα. L est donc une tour d'ensembles transitifs emboîtés.

Les éléments de la classe sont appelés ensembles constructibles ; est appelé l'univers constructible. et L sont définissables.. L'axiome de constructibilité, qu'on peut écrire V = L, affirme que tout ensemble de V est constructible, c'est-à-dire qu'il est aussi dans L.

Quelques développements sur L

On peut également définir par la formule

Les ensembles et sont identiques pour n'importe quel ordinal fini, qu'on accepte ou rejette l'axiome de constructibilité. Par conséquent : leurs éléments sont exactement les . Pour les ordinaux plus grands, l'égalité n'est plus valide. Même pour les modèles de ZFC dans lesquels est égal à , est un sous-ensemble strictement inclus dans , ce qui entraîne que est un sous-ensemble strict de l'ensemble des parties de pour tout .

Pour un ordinal infini , et sont en bijection, par une bijection constructible. Ces ensembles sont donc équipotents dans n'importe quel modèle de théorie des ensembles les incluant.

Tel que défini au-dessus, est l'ensemble des sous-ensembles de définis par des formules de classe , les formules de la théorie des ensembles ne comprenant que des dont les paramètres sont ou ses éléments.

Une définition équivalente de Gödel, sans référence à la définissabilité, caractérise chaque L comme l'intersection de l'ensemble des parties de L et de la clôture de L∪{L} par une collection de neuf fonctions particulières.

Tout sous-ensemble de ω ou relation sur ω qui est arithmétique appartient à Lω+1, la définition arithmétique en fournissant une dans Lω+1. Inversement, tout sous-ensemble de ω appartenant à Lω+1 est arithmétique, car les éléments de Lω sont codables par des entiers naturels de manière que l'appartenance ∈ soit définissable, donc arithmétique. Cependant, Lω+2 contient déjà certains sous-ensembles non arithmétiques de ω, comme l'ensemble des (entiers codant des) énoncés arithmétiques vrais : en effet, il est définissable à partir de Lω+1 ; il appartient donc à Lω+2.

Tous les sous-ensembles de ω et les relations sur ω qui sont appartiennent à , où désigne l' et, inversement, les sous-ensembles de ω appartenant à sont hyperarithmétiques..

L est un modèle intérieur de ZFC est une classe transitive dont la relation d'appartenance est celle de V. Par conséquent, toute formule est pour L. On en déduit que est un modèle intérieur, c'est-à-dire une sous-classe de V qui contient tous les ordinaux de . En effet, on montre par induction transfinie, que α ∈ Lα+1.. est un modèle de ZFC., c'est-à-dire qu'il satisfait les axiomes suivants : L'axiome de fondation Tout ensemble non vide possède un élément disjoint de .

L'axiome d'extensionnalité Deux ensembles sont identiques si et seulement s'ils ont les mêmes éléments,

L'axiome de la paire Si x, y sont des ensembles, alors {x, y} est un ensemble. L'axiome de l'union Pour tout ensemble x, il existe un ensemble y dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de x. L'axiome de l'infini Il existe un ensemble x tel que ∅ appartienne à x et tel que si y appartient à x, l'union y∪{y} lui appartienne également L'axiome de compréhension Étant donné n'importe quels ensembles S, z, … , z et n'importe quelle proposition P(x, z, … , z), {x | x ∈ S et P(x, z, … , z)} est un ensemble. L'axiome de remplacement Étant donné n'importe quel ensemble S et n'importe quelle classe fonctionnelle, définie formellement comme une proposition P(x, y) pour laquelle P(x, y) et P(x, z) implique y = z, est un ensemble. L'axiome de l'ensemble des parties Pour tout ensemble , il existe un ensemble dont les éléments sont précisément les sous-ensembles de .

L'axiome du choix Étant donné un ensemble d'ensembles non vides deux à deux disjoints, il y a un ensemble (appelé ensemble de choix de ) contenant exactement un seul élément pour chaque membre de .

Tout l'intérêt de L est que la preuve que c'est un modèle de ZFC nécessite uniquement que V soit un modèle de ZF, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de la validité de l'axiome du choix dans .

L est absolu et minimal Soit W un modèle de ZF qui possède les mêmes ordinaux que V. L'univers L défini dans W est alors le même que celui défini dans V. En particulier Lα est le même dans V et W pour n'importe quel ordinal α, et les mêmes formules et paramètres dans (Lα) produisent les mêmes ensembles constructibles dans Lα+1.

De plus, comme L est une sous-classe de V et de W, L est la plus petite classe qui à la fois contient tous les ordinaux et est un modèle intérieur de ZF. En effet L est l'intersection de toutes ces classes.

S'il existe un ensemble W dans V qui est un modèle intérieur de ZF et si l'ordinal κ est l'ensemble des ordinaux appartenant à W, alors Lκ est le L de W. S'il existe un de ZF, alors le plus petit de ces ensembles est un tel Lκ. Cet ensemble est appelé le de ZFC. En utilisant le théorème de Löwenheim-Skolem descendant, on peut montrer que le modèle minimal, s'il existe, est nécessairement dénombrable.

Bien sûr, n'importe quelle théorie cohérente doit avoir un modèle, donc il existe des modèles de ZF y compris à l'intérieur de ce modèle minimal (en supposant que ZF soit cohérente). Cependant, ces modèles des ensembles ne sont pas standards. En particulier, ils n'utilisent pas la relation normale d'appartenance et ils ne sont pas bien fondés.

On déduit que V = L est vrai dans L et dans tout Lκ qui est un modèle de ZF, des faits que le L de L et le V de L sont tous deux le vrai L et que le L de Lκ et le V de Lκ sont le vrai Lκ. Ce sont cependant les seuls modèles intérieurs de ZF dans lesquels V = L soit valide.

L et les grands cardinaux

Comme , les propriétés des ordinaux qui dépendent de l'absence d'une fonction ou d'une autre structure (i.e. les formules ΠZF) sont préservées de V à L. Les de V sont donc aussi initiaux dans L. Les le restent dans L. Les cardinaux limites faibles deviennent des limites fortes dans L parce que l'hypothèse généralisée du continu est vérifiée dans L. Les cardinaux faiblement inaccessibles deviennent fortement inaccessibles. Plus généralement, n'importe quelle propriété de grand cardinal plus faible que (voir la ) sera vérifiée également dans L.

Cependant 0# n'est pas vérifiée dans L, même si elle l'est dans V. Tous les grands cardinaux dont l'existence implique 0# ne conservent donc que leurs propriétés plus faibles que 0#. Par exemple les cardinaux mesurables ne sont plus mesurables dans L mais restent .

On peut remarquer que si 0# est vraie dans V, alors il existe une classe close et non bornée d'ordinaux indiscernables dans L. Bien que certains d'entre eux ne soient même pas des ordinaux initiaux de V, ils ont les propriétés plus faibles que 0# dans L. De plus, n'importe quelle fonction sur les classes strictement croissante de la classe des indiscernables vers elle-même, peut être étendue d'une manière unique en un de L dans L. Cette propriété confère à L une structure de segments se répétant.

L peut être bien ordonné Il y a plusieurs manières de faire de L un bon ordre. Certaines partent de l'élégante structure (traduction de ) décrite par Ronald Bjorn Jense de L. Dans son article, il donne un aperçu d'une construction de bon ordre pour L utilisant seulement les définitions données jusqu'ici, plutôt que d'expliquer cette structure.

Supposons que x et y soient deux ensembles différents appartenant à L, et que nous souhaitons déterminer si x<y ou si x>y. Si x apparaît à l’étape Lα+1 et y apparaît dans Lβ+1, et β différent de α, alors définissons x<y si et seulement si α<β. À partir de ce point nous supposerons que β=α.

Rappelons que Lα+1 = Def (Lα), c'est-à-dire que Lα+1 est défini grâce à des formules paramétrées par des ensembles de <Lα. Si on oublie temporairement les paramètres, les formules peuvent être énumérées par un codage de Gödel standard. Si Φ et Ψ sont les formules de plus petits nombres de Gödel permettant de définir respectivement x et y, et si ces formules sont différentes, nous définissons x<y si et seulement si le nombre de Φ est strictement inférieur au nombre de Ψ. Nous avons supposé β=α, donc nous supposerons Φ=Ψ.

Continuons la définition en supposant que Φ possède n paramètres de Lα. Supponsons que la séquence de paramètre z, ..., z soit la séquence de paramètres de Φ utilisée pour définir x, et que de même w, ..., w soit celle de y. Choisissons alors x<y si et seulement si zn<w ; (z=w et zn-1<wn-1) ; (z=w et zn-1=wn-1 et n-2<wn-2) ; etc. C'est-à-dire l'ordre lexicographique inverse. S'il existe plusieurs séquences définissant le même ensemble, nous choisissons la plus petite par cette définition. Nous devons remarquer que les valeurs possibles pour un paramètre sont ordonnées d'après l'ordre sur L restreint à Lα, cette définition est donc une définition par récurrence transfinie.

Le bon ordre des valeurs sur chaque paramètre est donné par l'hypothèse d'induction de cette récurrence. Les valeurs des n-uplets de paramètres sont bien ordonnées par leur ordre produit. Les formules paramétrées sont bien ordonnées par somme ordonnée par les nombres de Gödel de bons ordres. Enfin L est bien ordonné par somme ordonnée par α des ordres sur Lα+1.

Notons que ce bon ordre peut être défini dans L lui-même par une formule sans paramètre de la théorie des ensembles, seulement avec les variables libres x et y. Cette formule a la même valeur de vérité quelle que soit la manière dont on l'évalue dans L, V, ou W (un autre modèle standard de ZF muni des mêmes ordinaux) et nous pouvons supposer qu'elle sera fausse si soit x soit y ne sont pas dans L.