En mathématiques, une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F définis sur le corps des réels ou des complexes est continue si E et F sont de dimension finie, ce qui fait que dans le contexte typiquement algébrique des espaces de dimension finie, la question de la continuité d'une application linéaire ne se pose pas ; en revanche, si E et F sont, par exemple, des espaces vectoriels normés de dimensions quelconques, ce n'est plus vrai, et il y a donc lieu de préciser ce qu'on entend par une application linéaire continue.

Utilisation en analyse Parmi les applications linéaires, celles qui sont continues sont les seules intéressantes en analyse fonctionnelle. Il importe également, de manière à pouvoir définir la notion de convergence vers 0 d'une suite d'applications linéaires continues , de munir l'espace des applications linéaires continues d'une topologie. En réalité, plusieurs topologies, plus ou moins fines, sont possibles. Déjà quand on considère des formes linéaires continues sur un espace vectoriel normé E, c'est-à-dire des applications linéaires continues de E dans le corps de base K (corps des nombres réels ou complexes), ces formes constituent le dual topologique de E, noté E' ; cet espace peut être muni de diverses topologies, dont les plus importantes sont la « topologie forte » et la « topologie *-faible » ; cette dernière ne peut plus être définie par une norme et nécessite de se placer dans le cadre plus général des espaces localement convexes. Cela vaut encore dans le cas d'espaces d'applications linéaires continues à valeurs, par exemple, dans un espace vectoriel normé : l'étude des différentes topologies qu'on peut définir sur ces espaces rend nécessaire le cadre des espaces localement convexes. Cela est d'autant plus vrai que les développements de l'analyse fonctionnelle depuis le début des années 1950 (la théorie des distributions, notamment), n'a pu se faire qu'en sortant du cadre des espaces vectoriels normés pour se placer dans celui des espaces localement convexes ; néanmoins, comme on va le voir, la théorie dans le cas localement convexe général est assez complexe, et se simplifie beaucoup dans celui des espaces tonnelés et semi-complets, comme sont la quasi-totalité des espaces rencontrés en analyse fonctionnelle.

En liaison étroite avec l'étude des espaces d'applications linéaires continues vient celle des applications bilinéaires continues et la notion importante d'hypocontinuité, due à Nicolas Bourbaki..

Applications linéaires sur un espace de dimension finie

Le cas des espaces vectoriels normés Soit E et F deux espaces vectoriels réels normés.

Sur l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F, on définit la norme d'opérateur : .

Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.

Le cas des espaces vectoriels topologiques

Soit maintenant E et F deux espaces vectoriels topologiques à gauche sur un corps valué non discret K et u une application linéaire de E dans F. Supposons E de dimension finie et K complet. On montre par récurrence que E est isomorphe au produit K, où n est la dimension de E, et on en déduit que u est continue. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel sur le centre de K.

Remarque

Soit E un espace vectoriel topologique (non réduit à 0) sur un corps valué complet et non discret K. Les conditions suivantes sont équivalentes (théorème de Riesz) :

(a) K est localement compact et E est séparé et de dimension finie sur K ;

(b) E est localement compact.

Applications linéaires continues : généralités

Cas des espaces vectoriels normés

Soit E et F deux espaces vectoriels normés sur le corps K des réels ou des complexes. Le raisonnement fait plus haut ne s'applique plus si E n'est pas de dimension finie, et une application linéaire u de E dans F peut ne pas être continue. Elle est continue si, et seulement si

cette quantité est alors appelée la norme de u, et notée . Comme plus haut, on vérifie sans difficulté que l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F est un espace vectoriel et que l'on a défini une norme sur cet espace. Cet espace est toutefois à distinguer de l'espace des applications linéaires de E dans F. On a évidemment .

On montre que si F est complet, , muni de la norme ci-dessus, est également complet (et est donc un espace de Banach).

Cas des espaces vectoriels topologiques

Soit E et F deux espaces vectoriels topologiques à gauche sur un corps topologique K, de centre C. On note de nouveau le C-espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F et le C-espace vectoriel des applications linéaires de E dans F. On a .

Soit . Alors u est continue (i.e. ) si, et seulement si elle est continue en 0 c'est-à-dire : pour tout voisinage V de 0 dans F, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que pour tout .

Soit H une partie de . Alors H est équicontinue si, et seulement si pour tout voisinage V de 0 dans F, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que pour tout .

Démonstration de (1)La démonstration de la partie (2) est un peu plus longue : voir . : soit B une partie bornée dans E et V un voisinage de 0 dans F. Puisque u est continue, u(V) est un voisinage U de 0 dans E. Et puisque B est borné dans E, cet ensemble est absorbé par tout voisinage de 0 ; par suite, il existe tel que pour . Mais on a alors , par conséquent u(B) est une partie bornée de F.

Applications linéaires continues dans les espaces localement convexes

Topologies sur les espaces d'applications linéaires continues

Soit E et F deux espaces localement convexes sur le corps des réels ou des complexes. Soit une bornologie sur E. La -topologie sur est la topologie de la convergence uniforme sur les parties de . Elle est localement convexe et coïncide avec la -topologie où est la plus petite bornologie adaptée à E contenant . Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, toutes les bornologies de E sont adaptées; quand cela ne sera pas le cas, la plus petite bornologie adaptée à E contenant sera notée . Par conséquent, (ou, à défaut, ) est un espace disqué.

Soit p une semi-norme continue sur F, , et pour toute application ,

.

Si est un système fondamental de semi-normes sur F, les , où p parcourt et M parcourt , constituent une famille de semi-normes sur qui en font un espace localement convexe noté . Cet espace est séparé si F est séparé.

Soit , V un voisinage de 0 dans F, et

.

Les ensembles forment un système fondamental de voisinages de 0 pour la -topologie de .

On a (en d'autres termes, la bornologie est plus fine que la bornologie ) si, et seulement si la -topologie de est moins fine que sa -topologie.

Les bornologies les plus courantes sur E sont :

Les bornologies les plus usuelles dont les suivantes :

(1) , ensemble des parties finies de E. La topologie est appelée la topologie faible de . On précise parfois qu'il s'agit de la « topologie *-faible » pour la distinguer de la « topologie faible » . La bornologie n'est pas adaptée à E, et est la bornologie adaptée la plus fine, constituée des ensembles A inclus dans un sous-espace de dimension finie et bornés dans cet espace.

(2) , ensemble des parties convexes compactes de E, si E est séparé.

(3) , ensemble des parties compactes de E, si E est séparé.

(4) , ensemble des parties relativement compactes de E, si E est séparé.

(5) , ensemble des parties précompactes de E.

(6) , ensemble des parties bornées de E. Cette bornologie est dite canonique, et la topologie est appelée la topologie forte de .

Les -topologies ci-dessus vont de la moins fine à la plus fine (tandis que les bornologies vont de la plus fine à la moins fine).

Si E est le dual d'un espace localement convexe G : , on peut également considérer les bornologies constituées des sous-ensembles suivants de E :

(a) les ensembles équicontinus ;

(b) les ensembles dont l'enveloppe équilibrée fermée convexe est compacte pour la topologie *-faible ;

(c) les ensembles relativement compacts pour la topologie *-faible (on dit encore : les ensembles *-faiblement relativement compacts) ;

(c') les ensembles fortement bornés ;

(d) les ensembles *-faiblement bornés (ou, de manière équivalente, les ensembles *-faiblement précompacts).

On a les résultats suivants, Chap. III & IV. :

* Dans le cas général, (a) (b) (c) (d), (b) (c') (d).

* Les cas particuliers sont : (a) = (b) si, et seulement si G est un espace de Mackey, (a) = (c') si, et seulement si G est un espace infratonnelé (une condition suffisante pour qu'on ait cette égalité est donc que G soit bornologique), (b) = (d) si, et seulement si est quasi complet pour la topologie *-faible , (c') = (d) si G est semi-réflexif ou semi-complet (en particulier, si G est quasi complet), (a) = (d) si, et seulement si G est un espace tonnelé (théorème de Banach-Steinhaus : voir infra).

* En outre, si G est un espace localement convexe tonnelé et semi-complet, les ensembles ci-dessus coïncident avec :

(e) les ensembles bornés pour la -topologie de , pour toute bornologie vectorielle couvrante formée de parties bornées de G.

Notons qu'il est peu contraignant de supposer G tonnelé, car la quasi totalité des espaces fonctionnels rencontrés en pratique ont cette propriété (et dans ce cas, toutes les bornologies ci-dessus coïncident). De plus, ils sont le plus souvent complets.

Parties équicontinues de

((1) et (2) sont des propriétés générales des ensembles uniformément équicontinus d'applications, et (3) en est une conséquence.)

Théorème de Banach-Steinhaus

Le théorème de Banach-Steinhaus fait toute l'importance des espaces tonnelés. Il peut en effet s'énoncer comme suit :

Propriétés de

Rappelons que les bornologies considérées sur E sont adaptées.

Toute partie équicontinue de est bornée pour toute -topologie.

Si F est séparé, l'est aussi.

Si E est séparé et semi-complet, toute partie simplement bornée de est bornée pour la -topologie (dans ce cas, on peut donc parler des parties bornées de , sans qu'il y ait ambiguïté, et ces parties bornées sont identiques aux parties équicontinues si E est tonnelé, d'après le théorème de Banach-Steinhaus).

Si E est tonnelé et F est quasi complet, alors est quasi complet, Cor. 4 p. III.27..

Si E est bornologique, F est séparé et quasi complet (resp. complet), et les éléments contiennent l'image de toute suite tendant vers 0, alors est quasi complet (resp. complet), Prop. 12 p. III.23 ; , § 39.6(4), p. 143.. . La condition sur est vérifiée, notamment, si les éléments de sont les parties précompactes ou les parties bornées de E. En particulier, si E est métrisable et F est un espace de Fréchet, alors est complet (mais n'est pas, en général, un espace de Fréchet ; en particulier, est un espace (DF), et est un espace de Fréchet si, et seulement si E est un espace vectoriel normé, auquel cas est un espace de Banach).

Applications bilinéaires hypocontinues

Applications bilinéaires séparément continues

Soit E, F et G trois espaces vectoriels topologiques sur un corps commutatif valué non discret K et B une application bilinéaire de dans G. On peut considérer les deux applications partielles et pour tous . Ces deux applications partielles sont linéaires, et on dit que B est séparément continue si ces deux applications linéaires partielles sont continues pour tout . L'ensemble des applications bilinéaires séparément continues de dans G est un K-espace vectoriel noté .

Applications bilinéaires continues

Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, on définit une application bilinéaire continue B au point en munissant de la topologie produit. On montre que B est continue en si, et seulement si elle est continue en .