vignette|Figure représentant, en tout point du disque unité, l'argument de par coloration de régions. Les noeuds correspondent aux zéros du j-invariant et l'autosimilarité de la figure reflète sa modularité. Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.
Motivation : birapport et j-invariant
On travaille dans le plan projectif complexe . Soient quatre points distincts , leur birapport est :
Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Par exemple, le birapport de peut valoir, selon l'ordre considéré :
Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :
que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien entre le j-invariant et le groupe modulaire.
j-invariant de courbes elliptiques
Soit X une courbe elliptique non singulière sur , de forme de Weierstrass :
ayant pour discriminant .
Le j-invariant associé est
Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.
La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.
Références
Tito Piezas III et Eric Weisstein. j-Function, MathWorld
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