En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, le foncteur Hom est un foncteur associé aux morphismes de la catégorie des ensembles. Il est central en théorie des catégories, notamment du fait de son rôle dans le lemme de Yoneda et parce qu'il permet de définir le foncteur Ext.
Définition
Soit une catégorie localement petite. Pour tout couple d'objets et dans cette catégorie, on note l'ensemble des morphismes présents dans . On définit ici les foncteurs Hom. Le lemme de Yoneda caractérise la forme des transformations naturelles entre foncteurs Hom.
Foncteur Hom covariant Fixons un objet de . Le foncteur Hom covariant (correspondant aux foncteurs représentables) est défini comme suit. Celui-ci associe à tout objet de l'ensemble . De plus, celui-ci associe à tout morphisme la fonction , qui prend un morphisme et produit le morphisme . D'où la notation avec le tiret comme emplacement.
Foncteur Hom contravariant Il s'agit de la même définition mais la catégorie opposée. Il s'agit du foncteur Hom contravariant .
Bifoncteur Hom covariant On définit le bifoncteur Hom covariant
Certaines catégories possèdent un bi-foncteur similaire à Hom, mais ayant la catégorie elle-même pour codomaine :
On parle dans ce cas de foncteur Hom interne et on dit qu'il s'agit d'une catégorie fermée. Le foncteur d'oubli permet de retrouver le foncteur Hom « externe » à partir du foncteur Hom interne, ce qui correspond à l'opération de curryfication sur une .
Exemple La catégorie des groupes, Grp, est localement petite, autrement dit : pour tous groupes G et L, Hom(G,L) est un ensemble, l'ensemble des morphismes de groupes de G dans L. On va illustrer un foncteur "des groupes dans les ensembles". Soit G un groupe fixé. Le foncteur Hom covariant Hom(G,-) est un foncteur de ce type ; il associe à tout groupe L l'ensemble Hom(G,L) et à tout morphisme l'application de Hom(G,L) dans Hom(G,L').
Référence
Catégorie:Théorie des catégories Catégorie:Algèbre homologique