Une topologie étale est l'exemple le plus important d'une topologie de Grothendieck sur les schémas. Généralisant la topologie euclidienne, elle est définie en caractéristique positive et permet d'introduire une théorie cohomologique sur ces objets : la cohomologie étale.
Une catégorie munie d'une telle topologie forme alors un site appelé site étale, et il existe une théorie des faisceaux étales, qui donne le premier exemplaire historique d'un topos : le topos étale.
Définition
Soit un schéma, on appelle topologie étale la catégorie dont : les objets sont des d'un schéma dans ; les morphismes sont les morphismes de -schémas.
Il ne s'agit pas d'une petite catégorie : ses objets ne forment pas un ensemble. L'intersection de deux objets correspond à leur produit fibré. Pour les recouvrements, on considère les familles finies
Les anneaux locaux des points géométriques de la topologie étale sont exactement les anneaux henséliens.
Articles connexes
Cohomologie étale Théorie des schémas Topologie de Nisnevich
Références
Alexander Grothendieck et Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique IV, parties 1 et 4 (1964-1967) Michael Artin, Alexander Grothendieck et Jean-Louis Verdier. SGA 4, volumes 2 et 3 (1972) Pierre Deligne, SGA 4½ (1977)
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